Metamath Proof Explorer

Theorem cgrtr3

Description: Transitivity law for congruence. (Contributed by Scott Fenton, 7-Oct-2013)

Ref Expression
Assertion cgrtr3 ⊢N∈ℕ∧A∈𝔼⁡N∧B∈𝔼⁡N∧C∈𝔼⁡N∧D∈𝔼⁡N∧E∈𝔼⁡N∧F∈𝔼⁡N→ABCgrEF∧CDCgrEF→ABCgrCD

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simp1 ⊢N∈ℕ∧A∈𝔼⁡N∧B∈𝔼⁡N∧C∈𝔼⁡N∧D∈𝔼⁡N∧E∈𝔼⁡N∧F∈𝔼⁡N→N∈ℕ
2 simp21 ⊢N∈ℕ∧A∈𝔼⁡N∧B∈𝔼⁡N∧C∈𝔼⁡N∧D∈𝔼⁡N∧E∈𝔼⁡N∧F∈𝔼⁡N→A∈𝔼⁡N
3 simp22 ⊢N∈ℕ∧A∈𝔼⁡N∧B∈𝔼⁡N∧C∈𝔼⁡N∧D∈𝔼⁡N∧E∈𝔼⁡N∧F∈𝔼⁡N→B∈𝔼⁡N
4 simp32 ⊢N∈ℕ∧A∈𝔼⁡N∧B∈𝔼⁡N∧C∈𝔼⁡N∧D∈𝔼⁡N∧E∈𝔼⁡N∧F∈𝔼⁡N→E∈𝔼⁡N
5 simp33 ⊢N∈ℕ∧A∈𝔼⁡N∧B∈𝔼⁡N∧C∈𝔼⁡N∧D∈𝔼⁡N∧E∈𝔼⁡N∧F∈𝔼⁡N→F∈𝔼⁡N
6 simp23 ⊢N∈ℕ∧A∈𝔼⁡N∧B∈𝔼⁡N∧C∈𝔼⁡N∧D∈𝔼⁡N∧E∈𝔼⁡N∧F∈𝔼⁡N→C∈𝔼⁡N
7 simp31 ⊢N∈ℕ∧A∈𝔼⁡N∧B∈𝔼⁡N∧C∈𝔼⁡N∧D∈𝔼⁡N∧E∈𝔼⁡N∧F∈𝔼⁡N→D∈𝔼⁡N
8 simprl ⊢N∈ℕ∧A∈𝔼⁡N∧B∈𝔼⁡N∧C∈𝔼⁡N∧D∈𝔼⁡N∧E∈𝔼⁡N∧F∈𝔼⁡N∧ABCgrEF∧CDCgrEF→ABCgrEF
9 simprr ⊢N∈ℕ∧A∈𝔼⁡N∧B∈𝔼⁡N∧C∈𝔼⁡N∧D∈𝔼⁡N∧E∈𝔼⁡N∧F∈𝔼⁡N∧ABCgrEF∧CDCgrEF→CDCgrEF
10 1 6 7 4 5 9 cgrcomand ⊢N∈ℕ∧A∈𝔼⁡N∧B∈𝔼⁡N∧C∈𝔼⁡N∧D∈𝔼⁡N∧E∈𝔼⁡N∧F∈𝔼⁡N∧ABCgrEF∧CDCgrEF→EFCgrCD
11 1 2 3 4 5 6 7 8 10 cgrtrand ⊢N∈ℕ∧A∈𝔼⁡N∧B∈𝔼⁡N∧C∈𝔼⁡N∧D∈𝔼⁡N∧E∈𝔼⁡N∧F∈𝔼⁡N∧ABCgrEF∧CDCgrEF→ABCgrCD
12 11 ex ⊢N∈ℕ∧A∈𝔼⁡N∧B∈𝔼⁡N∧C∈𝔼⁡N∧D∈𝔼⁡N∧E∈𝔼⁡N∧F∈𝔼⁡N→ABCgrEF∧CDCgrEF→ABCgrCD