Theorem fineqvomonb

Description: All sets are finite iff all ordinal sets are finite. (Contributed by BTernaryTau, 25-Jan-2026)

	Ref	Expression
Assertion	fineqvomonb	$$⊢\mathrm{Fin}=\mathrm{V}\leftrightarrow \mathrm{\omega }=\mathrm{On}$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fineqvomon	$$⊢\mathrm{Fin}=\mathrm{V}\to \mathrm{\omega }=\mathrm{On}$$
2		onprc	$$⊢\neg \mathrm{On}\in \mathrm{V}$$
3		eleq1	$$⊢\mathrm{\omega }=\mathrm{On}\to \left(\mathrm{\omega }\in \mathrm{V}\leftrightarrow \mathrm{On}\in \mathrm{V}\right)$$
4	2 3	mtbiri	$$⊢\mathrm{\omega }=\mathrm{On}\to \neg \mathrm{\omega }\in \mathrm{V}$$
5		fineqv	$$⊢\neg \mathrm{\omega }\in \mathrm{V}\leftrightarrow \mathrm{Fin}=\mathrm{V}$$
6	4 5	sylib	$$⊢\mathrm{\omega }=\mathrm{On}\to \mathrm{Fin}=\mathrm{V}$$
7	1 6	impbii	$$⊢\mathrm{Fin}=\mathrm{V}\leftrightarrow \mathrm{\omega }=\mathrm{On}$$