impsingle-step20

Description: Derivation of impsingle-step20 from ax-mp and impsingle . It is used as a lemma in proofs of imim1 and peirce from impsingle . It is Step 20 in Lukasiewicz, where it appears as 'CCCCrppCspCCCpqrCsp' using parenthesis-free prefix notation. (Contributed by Larry Lesyna and Jeffrey P. Machado, 2-Aug-2023) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

		Ref	Expression
	Assertion	impsingle-step20	$⊢ (((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		impsingle-step19	$⊢ (((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))$
2		impsingle	$⊢ ((τ \to ζ) \to σ) \to ((σ \to τ) \to (ρ \to τ))$
3		impsingle	$⊢ (((((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ)) \to η) \to (((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ))) \to (((((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))) \to ((((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))))$
4		impsingle	$⊢ (((χ \to ψ) \to τ) \to ((φ \to ψ) \to ψ)) \to ((((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ)))$
5		impsingle-step8	$⊢ ((((χ \to ψ) \to τ) \to ((φ \to ψ) \to ψ)) \to ((((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ)))) \to (((φ \to ψ) \to ψ) \to ((((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))))$
6	4 5	ax-mp	$⊢ ((φ \to ψ) \to ψ) \to ((((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ)))$
7		impsingle	$⊢ (((φ \to ψ) \to ψ) \to ((((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ)))) \to ((((((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))) \to (φ \to ψ)) \to (((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ)))$
8	6 7	ax-mp	$⊢ (((((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))) \to (φ \to ψ)) \to (((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ))$
9		impsingle	$⊢ ((((((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))) \to (φ \to ψ)) \to (((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ))) \to (((((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ)) \to ((((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ)))) \to (((((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))) \to ((((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ)))))$
10	8 9	ax-mp	$⊢ ((((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ)) \to ((((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ)))) \to (((((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))) \to ((((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))))$
11		impsingle	$⊢ (((((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ)) \to ((((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ)))) \to (((((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))) \to ((((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))))) \to (((((((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))) \to ((((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ)))) \to (((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ))) \to (((((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ)) \to η) \to (((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ))))$
12	10 11	ax-mp	$⊢ ((((((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))) \to ((((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ)))) \to (((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ))) \to (((((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ)) \to η) \to (((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ)))$
13		impsingle	$⊢ (((((((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))) \to ((((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ)))) \to (((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ))) \to (((((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ)) \to η) \to (((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ)))) \to (((((((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ)) \to η) \to (((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ))) \to (((((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))) \to ((((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))))) \to ((((τ \to ζ) \to σ) \to ((σ \to τ) \to (ρ \to τ))) \to (((((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))) \to ((((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))))))$
14	12 13	ax-mp	$⊢ ((((((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ)) \to η) \to (((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ))) \to (((((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))) \to ((((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))))) \to ((((τ \to ζ) \to σ) \to ((σ \to τ) \to (ρ \to τ))) \to (((((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))) \to ((((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ)))))$
15	3 14	ax-mp	$⊢ (((τ \to ζ) \to σ) \to ((σ \to τ) \to (ρ \to τ))) \to (((((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))) \to ((((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))))$
16	2 15	ax-mp	$⊢ ((((χ \to ψ) \to θ) \to (φ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))) \to ((((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ)))$
17	1 16	ax-mp	$⊢ (((φ \to ψ) \to ψ) \to (χ \to ψ)) \to (((ψ \to θ) \to φ) \to (χ \to ψ))$

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Theorem impsingle-step20

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