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Theorem impsingle-step20

Description: Derivation of impsingle-step20 from ax-mp and impsingle . It is used as a lemma in proofs of imim1 and peirce from impsingle . It is Step 20 in Lukasiewicz, where it appears as 'CCCCrppCspCCCpqrCsp' using parenthesis-free prefix notation. (Contributed by Larry Lesyna and Jeffrey P. Machado, 2-Aug-2023) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion impsingle-step20 
|- ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 impsingle-step19 
 |-  ( ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) )
2 impsingle 
 |-  ( ( ( ta -> ze ) -> si ) -> ( ( si -> ta ) -> ( rh -> ta ) ) )
3 impsingle 
 |-  ( ( ( ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) -> et ) -> ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) ) )
4 impsingle 
 |-  ( ( ( ( ch -> ps ) -> ta ) -> ( ( ph -> ps ) -> ps ) ) -> ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) )
5 impsingle-step8 
 |-  ( ( ( ( ( ch -> ps ) -> ta ) -> ( ( ph -> ps ) -> ps ) ) -> ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) ) )
6 4 5 ax-mp 
 |-  ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) )
7 impsingle 
 |-  ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) ) )
8 6 7 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) )
9 impsingle 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) ) ) )
10 8 9 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) ) )
11 impsingle 
 |-  ( ( ( ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) ) -> ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) -> et ) -> ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) ) ) )
12 10 11 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) ) -> ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) -> et ) -> ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) ) )
13 impsingle 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) ) -> ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) -> et ) -> ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) -> et ) -> ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ta -> ze ) -> si ) -> ( ( si -> ta ) -> ( rh -> ta ) ) ) -> ( ( ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) ) ) ) )
14 12 13 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) -> et ) -> ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ta -> ze ) -> si ) -> ( ( si -> ta ) -> ( rh -> ta ) ) ) -> ( ( ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) ) ) )
15 3 14 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ta -> ze ) -> si ) -> ( ( si -> ta ) -> ( rh -> ta ) ) ) -> ( ( ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) ) )
16 2 15 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ch -> ps ) -> th ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) ) )
17 1 16 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ph -> ps ) -> ps ) -> ( ch -> ps ) ) -> ( ( ( ps -> th ) -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) )