Theorem impsingle-step8

Description: Derivation of impsingle-step8 from ax-mp and impsingle . It is used as a lemma in proofs of ax-1 imim1 and peirce from impsingle . It is Step 8 in Lukasiewicz, where it appears as 'CCCsqpCqp' using parenthesis-free prefix notation. (Contributed by Larry Lesyna and Jeffrey P. Machado, 2-Aug-2023) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	impsingle-step8	|- ( ( ( ph -> ps ) -> ch ) -> ( ps -> ch ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		impsingle	|- ( ( ( ta -> et ) -> ze ) -> ( ( ze -> ta ) -> ( si -> ta ) ) )
2		impsingle	|- ( ( ( ch -> th ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ch ) -> ( ps -> ch ) ) )
3		impsingle	|- ( ( ( ps -> th ) -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ps ) -> ( ph -> ps ) ) )
4		impsingle	|- ( ( ( ps -> ch ) -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ps ) -> ( ph -> ps ) ) )
5		impsingle	|- ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ps ) -> ( ph -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ps ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> th ) -> ( ps -> ch ) ) ) )
6	4 5	ax-mp	|- ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ps ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> th ) -> ( ps -> ch ) ) )
7		impsingle	|- ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ps ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> th ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ps -> th ) -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ps ) -> ( ph -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ta -> et ) -> ze ) -> ( ( ze -> ta ) -> ( si -> ta ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ps ) -> ( ph -> ps ) ) ) ) )
8	6 7	ax-mp	|- ( ( ( ( ps -> th ) -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ps ) -> ( ph -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ta -> et ) -> ze ) -> ( ( ze -> ta ) -> ( si -> ta ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ps ) -> ( ph -> ps ) ) ) )
9	3 8	ax-mp	|- ( ( ( ( ta -> et ) -> ze ) -> ( ( ze -> ta ) -> ( si -> ta ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ps ) -> ( ph -> ps ) ) )
10	1 9	ax-mp	|- ( ( ( ps -> ch ) -> ps ) -> ( ph -> ps ) )
11		impsingle	|- ( ( ( ( ps -> ch ) -> ps ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ch ) -> ( ps -> ch ) ) ) )
12	10 11	ax-mp	|- ( ( ( ph -> ps ) -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ch ) -> ( ps -> ch ) ) )
13		impsingle	|- ( ( ( ( ph -> ps ) -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ch ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ch ) -> ( ps -> ch ) ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ch -> th ) -> ( ph -> ps ) ) ) )
14	12 13	ax-mp	|- ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ch ) -> ( ps -> ch ) ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ch -> th ) -> ( ph -> ps ) ) )
15		impsingle	|- ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ch ) -> ( ps -> ch ) ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ch -> th ) -> ( ph -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ch -> th ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ch ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ta -> et ) -> ze ) -> ( ( ze -> ta ) -> ( si -> ta ) ) ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ch ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) )
16	14 15	ax-mp	|- ( ( ( ( ch -> th ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ch ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ta -> et ) -> ze ) -> ( ( ze -> ta ) -> ( si -> ta ) ) ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ch ) -> ( ps -> ch ) ) ) )
17	2 16	ax-mp	|- ( ( ( ( ta -> et ) -> ze ) -> ( ( ze -> ta ) -> ( si -> ta ) ) ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ch ) -> ( ps -> ch ) ) )
18	1 17	ax-mp	|- ( ( ( ph -> ps ) -> ch ) -> ( ps -> ch ) )