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Theorem mercolem1

Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco2 . (Contributed by Anthony Hart, 16-Aug-2011) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

		Ref	Expression
	Assertion	mercolem1	$⊢ ((φ \to ψ) \to χ) \to (ψ \to (θ \to χ))$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		merco2	$⊢ ((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))$
2		merco2	$⊢ ((χ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ))) \to (((φ \to ψ) \to χ) \to (ψ \to (θ \to χ)))$
3		merco2	$⊢ ((ψ \to (θ \to χ)) \to ((⊥ \to φ) \to ⊥)) \to ((⊥ \to ψ) \to ((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ)))$
4		merco2	$⊢ (((ψ \to (θ \to χ)) \to ((⊥ \to φ) \to ⊥)) \to ((⊥ \to ψ) \to ((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ)))) \to ((((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ)) \to (ψ \to (θ \to χ))) \to ((⊥ \to φ) \to (((φ \to ψ) \to χ) \to (ψ \to (θ \to χ)))))$
5	3 4	ax-mp	$⊢ (((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ)) \to (ψ \to (θ \to χ))) \to ((⊥ \to φ) \to (((φ \to ψ) \to χ) \to (ψ \to (θ \to χ))))$
6		merco2	$⊢ ((((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ)) \to (ψ \to (θ \to χ))) \to ((⊥ \to φ) \to (((φ \to ψ) \to χ) \to (ψ \to (θ \to χ))))) \to (((((φ \to ψ) \to χ) \to (ψ \to (θ \to χ))) \to ((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ))) \to ((⊥ \to φ) \to ((χ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ)))))$
7	5 6	ax-mp	$⊢ ((((φ \to ψ) \to χ) \to (ψ \to (θ \to χ))) \to ((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ))) \to ((⊥ \to φ) \to ((χ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ))))$
8		merco2	$⊢ (((((φ \to ψ) \to χ) \to (ψ \to (θ \to χ))) \to ((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ))) \to ((⊥ \to φ) \to ((χ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ))))) \to ((((χ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ))) \to (((φ \to ψ) \to χ) \to (ψ \to (θ \to χ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to (((φ \to ψ) \to χ) \to (ψ \to (θ \to χ))))))$
9	7 8	ax-mp	$⊢ (((χ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ))) \to (((φ \to ψ) \to χ) \to (ψ \to (θ \to χ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to (((φ \to ψ) \to χ) \to (ψ \to (θ \to χ)))))$
10	2 9	ax-mp	$⊢ (((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to (((φ \to ψ) \to χ) \to (ψ \to (θ \to χ))))$
11	1 10	ax-mp	$⊢ (((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to (((φ \to ψ) \to χ) \to (ψ \to (θ \to χ)))$
12	1 11	ax-mp	$⊢ ((φ \to ψ) \to χ) \to (ψ \to (θ \to χ))$