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Theorem mercolem8

Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco2 . (Contributed by Anthony Hart, 16-Aug-2011) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

		Ref	Expression
	Assertion	mercolem8	$⊢ (φ \to ψ) \to ((ψ \to (φ \to χ)) \to (τ \to (θ \to (φ \to χ))))$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		merco2	$⊢ ((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))$
2		merco2	$⊢ (((φ \to χ) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)) \to ((ψ \to (φ \to χ)) \to (τ \to (θ \to (φ \to χ))))$
3		mercolem3	$⊢ ((((φ \to χ) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)) \to ((ψ \to (φ \to χ)) \to (τ \to (θ \to (φ \to χ))))) \to ((((φ \to χ) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)) \to ((φ \to ψ) \to ((ψ \to (φ \to χ)) \to (τ \to (θ \to (φ \to χ))))))$
4	2 3	ax-mp	$⊢ (((φ \to χ) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)) \to ((φ \to ψ) \to ((ψ \to (φ \to χ)) \to (τ \to (θ \to (φ \to χ)))))$
5		mercolem7	$⊢ (φ \to ψ) \to (((φ \to χ) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)) \to ((⊥ \to φ) \to ψ))$
6		mercolem7	$⊢ ((φ \to ψ) \to (((φ \to χ) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)) \to ((⊥ \to φ) \to ψ))) \to ((((φ \to ψ) \to ((ψ \to (φ \to χ)) \to (τ \to (θ \to (φ \to χ))))) \to ((⊥ \to φ) \to (((φ \to χ) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)))) \to ((⊥ \to φ) \to (((φ \to χ) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)) \to ((⊥ \to φ) \to ψ))))$
7	5 6	ax-mp	$⊢ (((φ \to ψ) \to ((ψ \to (φ \to χ)) \to (τ \to (θ \to (φ \to χ))))) \to ((⊥ \to φ) \to (((φ \to χ) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)))) \to ((⊥ \to φ) \to (((φ \to χ) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)))$
8		merco2	$⊢ ((((φ \to ψ) \to ((ψ \to (φ \to χ)) \to (τ \to (θ \to (φ \to χ))))) \to ((⊥ \to φ) \to (((φ \to χ) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)))) \to ((⊥ \to φ) \to (((φ \to χ) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)))) \to (((((φ \to χ) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)) \to ((φ \to ψ) \to ((ψ \to (φ \to χ)) \to (τ \to (θ \to (φ \to χ)))))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to ψ) \to ((ψ \to (φ \to χ)) \to (τ \to (θ \to (φ \to χ))))))))$
9	7 8	ax-mp	$⊢ ((((φ \to χ) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)) \to ((⊥ \to φ) \to ψ)) \to ((φ \to ψ) \to ((ψ \to (φ \to χ)) \to (τ \to (θ \to (φ \to χ)))))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to ψ) \to ((ψ \to (φ \to χ)) \to (τ \to (θ \to (φ \to χ)))))))$
10	4 9	ax-mp	$⊢ (((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to ψ) \to ((ψ \to (φ \to χ)) \to (τ \to (θ \to (φ \to χ))))))$
11	1 10	ax-mp	$⊢ (((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to ψ) \to ((ψ \to (φ \to χ)) \to (τ \to (θ \to (φ \to χ)))))$
12	1 11	ax-mp	$⊢ (φ \to ψ) \to ((ψ \to (φ \to χ)) \to (τ \to (θ \to (φ \to χ))))$