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Theorem pm11.57

Description: Theorem *11.57 in WhiteheadRussell p. 165. (Contributed by Andrew Salmon, 24-May-2011)

Ref Expression
Assertion pm11.57 ⊢ ∀ x φ ↔ ∀ x ∀ y φ ∧ y x φ

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 nfv ⊢ Ⅎ y φ
2 1 nfal ⊢ Ⅎ y ∀ x φ
3 sp ⊢ ∀ x φ → φ
4 stdpc4 ⊢ ∀ x φ → y x φ
5 3 4 jca ⊢ ∀ x φ → φ ∧ y x φ
6 2 5 alrimi ⊢ ∀ x φ → ∀ y φ ∧ y x φ
7 6 axc4i ⊢ ∀ x φ → ∀ x ∀ y φ ∧ y x φ
8 simpl ⊢ φ ∧ y x φ → φ
9 8 sps ⊢ ∀ y φ ∧ y x φ → φ
10 9 alimi ⊢ ∀ x ∀ y φ ∧ y x φ → ∀ x φ
11 7 10 impbii ⊢ ∀ x φ ↔ ∀ x ∀ y φ ∧ y x φ