Theorem slttrine

Description: Trichotomy law for surreals. (Contributed by Scott Fenton, 23-Nov-2021)

	Ref	Expression
Assertion	slttrine	$$⊢\left(A\in \mathrm{No}\wedge B\in \mathrm{No}\right)\to \left(A\ne B\leftrightarrow \left(A{<}_{s}B\vee B{<}_{s}A\right)\right)$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltso	$$⊢{<}_s\mathrm{Or}\mathrm{No}$$
2		sotrine	$$⊢\left({<}_s\mathrm{Or}\mathrm{No}\wedge \left(A\in \mathrm{No}\wedge B\in \mathrm{No}\right)\right)\to \left(A\ne B\leftrightarrow \left(A{<}_{s}B\vee B{<}_{s}A\right)\right)$$
3	1 2	mpan	$$⊢\left(A\in \mathrm{No}\wedge B\in \mathrm{No}\right)\to \left(A\ne B\leftrightarrow \left(A{<}_{s}B\vee B{<}_{s}A\right)\right)$$