Theorem xpcomf1o

Description: The canonical bijection from ( A X. B ) to ( B X. A ) . (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014)

	Ref	Expression
Hypothesis	xpcomf1o.1	$$⊢F=\left(x\in \left(A\times B\right)⟼\bigcup {\left\{x\right\}}^{-1}\right)$$
Assertion	xpcomf1o	$$⊢F:A\times B\underset{1-1\; onto}{⟶}B\times A$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpcomf1o.1	$$⊢F=\left(x\in \left(A\times B\right)⟼\bigcup {\left\{x\right\}}^{-1}\right)$$
2		relxp	$$⊢\mathrm{Rel}\left(A\times B\right)$$
3		cnvf1o	$$⊢\mathrm{Rel}\left(A\times B\right)\to \left(x\in \left(A\times B\right)⟼\bigcup {\left\{x\right\}}^{-1}\right):A\times B\underset{1-1\; onto}{⟶}{\left(A\times B\right)}^{-1}$$
4	2 3	ax-mp	$$⊢\left(x\in \left(A\times B\right)⟼\bigcup {\left\{x\right\}}^{-1}\right):A\times B\underset{1-1\; onto}{⟶}{\left(A\times B\right)}^{-1}$$
5		f1oeq1	$$⊢F=\left(x\in \left(A\times B\right)⟼\bigcup {\left\{x\right\}}^{-1}\right)\to \left(F:A\times B\underset{1-1\; onto}{⟶}{\left(A\times B\right)}^{-1}\leftrightarrow \left(x\in \left(A\times B\right)⟼\bigcup {\left\{x\right\}}^{-1}\right):A\times B\underset{1-1\; onto}{⟶}{\left(A\times B\right)}^{-1}\right)$$
6	1 5	ax-mp	$$⊢F:A\times B\underset{1-1\; onto}{⟶}{\left(A\times B\right)}^{-1}\leftrightarrow \left(x\in \left(A\times B\right)⟼\bigcup {\left\{x\right\}}^{-1}\right):A\times B\underset{1-1\; onto}{⟶}{\left(A\times B\right)}^{-1}$$
7	4 6	mpbir	$$⊢F:A\times B\underset{1-1\; onto}{⟶}{\left(A\times B\right)}^{-1}$$
8		cnvxp	$$⊢{\left(A\times B\right)}^{-1}=B\times A$$
9		f1oeq3	$$⊢{\left(A\times B\right)}^{-1}=B\times A\to \left(F:A\times B\underset{1-1\; onto}{⟶}{\left(A\times B\right)}^{-1}\leftrightarrow F:A\times B\underset{1-1\; onto}{⟶}B\times A\right)$$
10	8 9	ax-mp	$$⊢F:A\times B\underset{1-1\; onto}{⟶}{\left(A\times B\right)}^{-1}\leftrightarrow F:A\times B\underset{1-1\; onto}{⟶}B\times A$$
11	7 10	mpbi	$$⊢F:A\times B\underset{1-1\; onto}{⟶}B\times A$$