Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
3wlkd.p |
⊢ 𝑃 = 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ”〉 |
2 |
|
3wlkd.f |
⊢ 𝐹 = 〈“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”〉 |
3 |
|
3wlkd.s |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ) ) ) |
4 |
|
3wlkd.n |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ) |
5 |
|
3wlkd.e |
⊢ ( 𝜑 → ( { 𝐴 , 𝐵 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐽 ) ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐾 ) ∧ { 𝐶 , 𝐷 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐿 ) ) ) |
6 |
1 2 3 4 5
|
3wlkdlem7 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V ∧ 𝐿 ∈ V ) ) |
7 |
|
s3fv0 |
⊢ ( 𝐽 ∈ V → ( 〈“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”〉 ‘ 0 ) = 𝐽 ) |
8 |
|
s3fv1 |
⊢ ( 𝐾 ∈ V → ( 〈“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”〉 ‘ 1 ) = 𝐾 ) |
9 |
|
s3fv2 |
⊢ ( 𝐿 ∈ V → ( 〈“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”〉 ‘ 2 ) = 𝐿 ) |
10 |
7 8 9
|
3anim123i |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V ∧ 𝐿 ∈ V ) → ( ( 〈“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”〉 ‘ 0 ) = 𝐽 ∧ ( 〈“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”〉 ‘ 1 ) = 𝐾 ∧ ( 〈“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”〉 ‘ 2 ) = 𝐿 ) ) |
11 |
6 10
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 〈“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”〉 ‘ 0 ) = 𝐽 ∧ ( 〈“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”〉 ‘ 1 ) = 𝐾 ∧ ( 〈“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”〉 ‘ 2 ) = 𝐿 ) ) |
12 |
2
|
fveq1i |
⊢ ( 𝐹 ‘ 0 ) = ( 〈“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”〉 ‘ 0 ) |
13 |
12
|
eqeq1i |
⊢ ( ( 𝐹 ‘ 0 ) = 𝐽 ↔ ( 〈“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”〉 ‘ 0 ) = 𝐽 ) |
14 |
2
|
fveq1i |
⊢ ( 𝐹 ‘ 1 ) = ( 〈“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”〉 ‘ 1 ) |
15 |
14
|
eqeq1i |
⊢ ( ( 𝐹 ‘ 1 ) = 𝐾 ↔ ( 〈“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”〉 ‘ 1 ) = 𝐾 ) |
16 |
2
|
fveq1i |
⊢ ( 𝐹 ‘ 2 ) = ( 〈“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”〉 ‘ 2 ) |
17 |
16
|
eqeq1i |
⊢ ( ( 𝐹 ‘ 2 ) = 𝐿 ↔ ( 〈“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”〉 ‘ 2 ) = 𝐿 ) |
18 |
13 15 17
|
3anbi123i |
⊢ ( ( ( 𝐹 ‘ 0 ) = 𝐽 ∧ ( 𝐹 ‘ 1 ) = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ 2 ) = 𝐿 ) ↔ ( ( 〈“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”〉 ‘ 0 ) = 𝐽 ∧ ( 〈“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”〉 ‘ 1 ) = 𝐾 ∧ ( 〈“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”〉 ‘ 2 ) = 𝐿 ) ) |
19 |
11 18
|
sylibr |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ‘ 0 ) = 𝐽 ∧ ( 𝐹 ‘ 1 ) = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ 2 ) = 𝐿 ) ) |