Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fzctr |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
2 |
|
bcval2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 2 · 𝑁 ) ) → ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) = ( ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / ( ( ! ‘ ( ( 2 · 𝑁 ) − 𝑁 ) ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
3 |
1 2
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) = ( ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / ( ( ! ‘ ( ( 2 · 𝑁 ) − 𝑁 ) ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
4 |
|
nn0cn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ ) |
5 |
4
|
2timesd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 2 · 𝑁 ) = ( 𝑁 + 𝑁 ) ) |
6 |
4 4 5
|
mvrladdd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 2 · 𝑁 ) − 𝑁 ) = 𝑁 ) |
7 |
6
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ! ‘ ( ( 2 · 𝑁 ) − 𝑁 ) ) = ( ! ‘ 𝑁 ) ) |
8 |
7
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( ! ‘ ( ( 2 · 𝑁 ) − 𝑁 ) ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) |
9 |
8
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / ( ( ! ‘ ( ( 2 · 𝑁 ) − 𝑁 ) ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) = ( ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
10 |
3 9
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) = ( ( ! ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) ) |