Theorem bcval2

Description: Value of the binomial coefficient, N choose K , in its standard domain. (Contributed by NM, 9-Jun-2005) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013)

	Ref	Expression
Assertion	bcval2	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 C 𝐾 ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 − 𝐾 ) ) · ( ! ‘ 𝐾 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz3nn0	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℕ0 )
2		elfzelz	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
3		bcval	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 C 𝐾 ) = if ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) , ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 − 𝐾 ) ) · ( ! ‘ 𝐾 ) ) ) , 0 ) )
4	1 2 3	syl2anc	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 C 𝐾 ) = if ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) , ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 − 𝐾 ) ) · ( ! ‘ 𝐾 ) ) ) , 0 ) )
5		iftrue	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → if ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) , ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 − 𝐾 ) ) · ( ! ‘ 𝐾 ) ) ) , 0 ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 − 𝐾 ) ) · ( ! ‘ 𝐾 ) ) ) )
6	4 5	eqtrd	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 C 𝐾 ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 − 𝐾 ) ) · ( ! ‘ 𝐾 ) ) ) )