Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nn0cn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ ) |
2 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
3 |
|
bccl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 C 2 ) ∈ ℕ0 ) |
4 |
2 3
|
mpan2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 C 2 ) ∈ ℕ0 ) |
5 |
4
|
nn0cnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 C 2 ) ∈ ℂ ) |
6 |
1 5
|
addcomd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 + ( 𝑁 C 2 ) ) = ( ( 𝑁 C 2 ) + 𝑁 ) ) |
7 |
|
bcn1 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 C 1 ) = 𝑁 ) |
8 |
|
1e2m1 |
⊢ 1 = ( 2 − 1 ) |
9 |
8
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 1 = ( 2 − 1 ) ) |
10 |
9
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 C 1 ) = ( 𝑁 C ( 2 − 1 ) ) ) |
11 |
7 10
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 = ( 𝑁 C ( 2 − 1 ) ) ) |
12 |
11
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 C 2 ) + 𝑁 ) = ( ( 𝑁 C 2 ) + ( 𝑁 C ( 2 − 1 ) ) ) ) |
13 |
|
bcpasc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 C 2 ) + ( 𝑁 C ( 2 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑁 + 1 ) C 2 ) ) |
14 |
2 13
|
mpan2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 C 2 ) + ( 𝑁 C ( 2 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑁 + 1 ) C 2 ) ) |
15 |
6 12 14
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 + ( 𝑁 C 2 ) ) = ( ( 𝑁 + 1 ) C 2 ) ) |