Theorem brcodir

Description: Two ways of saying that two elements have an upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2015)

	Ref	Expression
Assertion	brcodir	⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ) → ( 𝐴 ( ◡ 𝑅 ∘ 𝑅 ) 𝐵 ↔ ∃ 𝑧 ( 𝐴 𝑅 𝑧 ∧ 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brcog	⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ) → ( 𝐴 ( ◡ 𝑅 ∘ 𝑅 ) 𝐵 ↔ ∃ 𝑧 ( 𝐴 𝑅 𝑧 ∧ 𝑧 ◡ 𝑅 𝐵 ) ) )
2		vex	⊢ 𝑧 ∈ V
3		brcnvg	⊢ ( ( 𝑧 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ) → ( 𝑧 ◡ 𝑅 𝐵 ↔ 𝐵 𝑅 𝑧 ) )
4	2 3	mpan	⊢ ( 𝐵 ∈ 𝑊 → ( 𝑧 ◡ 𝑅 𝐵 ↔ 𝐵 𝑅 𝑧 ) )
5	4	anbi2d	⊢ ( 𝐵 ∈ 𝑊 → ( ( 𝐴 𝑅 𝑧 ∧ 𝑧 ◡ 𝑅 𝐵 ) ↔ ( 𝐴 𝑅 𝑧 ∧ 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) )
6	5	adantl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ) → ( ( 𝐴 𝑅 𝑧 ∧ 𝑧 ◡ 𝑅 𝐵 ) ↔ ( 𝐴 𝑅 𝑧 ∧ 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) )
7	6	exbidv	⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ) → ( ∃ 𝑧 ( 𝐴 𝑅 𝑧 ∧ 𝑧 ◡ 𝑅 𝐵 ) ↔ ∃ 𝑧 ( 𝐴 𝑅 𝑧 ∧ 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) )
8	1 7	bitrd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ) → ( 𝐴 ( ◡ 𝑅 ∘ 𝑅 ) 𝐵 ↔ ∃ 𝑧 ( 𝐴 𝑅 𝑧 ∧ 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) )