Theorem cdlemkj

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. (Contributed by NM, 2-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk1.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdlemk1.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdlemk1.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdlemk1.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdlemk1.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdlemk1.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemk1.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk1.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk1.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑖 ∈ 𝑇 ( 𝑖 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ) )
	cdlemk1.o	⊢ 𝑂 = ( 𝑆 ‘ 𝐷 )
	cdlemk.z	⊢ 𝑍 = ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) )
Assertion	cdlemkj	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑍 ∈ 𝑇 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk1.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdlemk1.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		cdlemk1.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		cdlemk1.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5		cdlemk1.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6		cdlemk1.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7		cdlemk1.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8		cdlemk1.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9		cdlemk1.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑖 ∈ 𝑇 ( 𝑖 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ) )
10		cdlemk1.o	⊢ 𝑂 = ( 𝑆 ‘ 𝐷 )
11		cdlemk.z	⊢ 𝑍 = ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) )
12		simp11l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
13		simp11r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
14		simp33	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
15	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	cdlemk16a	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) ≤ 𝑊 ) )
16	2 5 6 7 11	ltrniotacl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) ≤ 𝑊 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑇 )
17	12 13 14 15 16	syl211anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑍 ∈ 𝑇 )