Metamath Proof Explorer


Theorem cevath

Description: Ceva's theorem. Let A B C be a triangle and let points F , D and E lie on sides A B , B C , C A correspondingly. Suppose that cevians A D , B E and C F intersect at one point O . Then triangle's sides are partitioned into segments and their lengths satisfy a certain identity. Here we obtain a bit stronger version by using complex numbers themselves instead of their absolute values.

The proof goes by applying cevathlem2 three times and then using cevathlem1 to multiply obtained identities and prove the theorem.

In the theorem statement we are using function G as a collinearity indicator. For justification of that use, see sigarcol . This is Metamath 100 proof #61. (Contributed by Saveliy Skresanov, 24-Sep-2017)

Ref Expression
Hypotheses cevath.sigar โŠข ๐บ = ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ , ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ( โ„‘ โ€˜ ( ( โˆ— โ€˜ ๐‘ฅ ) ยท ๐‘ฆ ) ) )
cevath.a โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ ) )
cevath.b โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐น โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ ) )
cevath.c โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘‚ โˆˆ โ„‚ )
cevath.d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ท โˆ’ ๐‘‚ ) ) = 0 โˆง ( ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ธ โˆ’ ๐‘‚ ) ) = 0 โˆง ( ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐น โˆ’ ๐‘‚ ) ) = 0 ) )
cevath.e โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( ๐ด โˆ’ ๐น ) ๐บ ( ๐ต โˆ’ ๐น ) ) = 0 โˆง ( ( ๐ต โˆ’ ๐ท ) ๐บ ( ๐ถ โˆ’ ๐ท ) ) = 0 โˆง ( ( ๐ถ โˆ’ ๐ธ ) ๐บ ( ๐ด โˆ’ ๐ธ ) ) = 0 ) )
cevath.f โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ) โ‰  0 โˆง ( ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ) โ‰  0 โˆง ( ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ) โ‰  0 ) )
Assertion cevath ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( ๐ด โˆ’ ๐น ) ยท ( ๐ถ โˆ’ ๐ธ ) ) ยท ( ๐ต โˆ’ ๐ท ) ) = ( ( ( ๐น โˆ’ ๐ต ) ยท ( ๐ธ โˆ’ ๐ด ) ) ยท ( ๐ท โˆ’ ๐ถ ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cevath.sigar โŠข ๐บ = ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ , ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ( โ„‘ โ€˜ ( ( โˆ— โ€˜ ๐‘ฅ ) ยท ๐‘ฆ ) ) )
2 cevath.a โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ ) )
3 cevath.b โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐น โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ ) )
4 cevath.c โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘‚ โˆˆ โ„‚ )
5 cevath.d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ท โˆ’ ๐‘‚ ) ) = 0 โˆง ( ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ธ โˆ’ ๐‘‚ ) ) = 0 โˆง ( ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐น โˆ’ ๐‘‚ ) ) = 0 ) )
6 cevath.e โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( ๐ด โˆ’ ๐น ) ๐บ ( ๐ต โˆ’ ๐น ) ) = 0 โˆง ( ( ๐ต โˆ’ ๐ท ) ๐บ ( ๐ถ โˆ’ ๐ท ) ) = 0 โˆง ( ( ๐ถ โˆ’ ๐ธ ) ๐บ ( ๐ด โˆ’ ๐ธ ) ) = 0 ) )
7 cevath.f โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ) โ‰  0 โˆง ( ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ) โ‰  0 โˆง ( ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ) โ‰  0 ) )
8 2 simp2d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚ )
9 8 4 subcld โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) โˆˆ โ„‚ )
10 2 simp3d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚ )
11 10 4 subcld โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) โˆˆ โ„‚ )
12 9 11 jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) โˆˆ โ„‚ โˆง ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) โˆˆ โ„‚ ) )
13 1 12 sigarimcd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ) โˆˆ โ„‚ )
14 2 simp1d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚ )
15 3 simp1d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚ )
16 14 15 subcld โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ด โˆ’ ๐น ) โˆˆ โ„‚ )
17 14 4 subcld โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) โˆˆ โ„‚ )
18 11 17 jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) โˆˆ โ„‚ โˆง ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) โˆˆ โ„‚ ) )
19 1 18 sigarimcd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ) โˆˆ โ„‚ )
20 13 16 19 3jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ) โˆˆ โ„‚ โˆง ( ๐ด โˆ’ ๐น ) โˆˆ โ„‚ โˆง ( ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ) โˆˆ โ„‚ ) )
21 15 8 subcld โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐น โˆ’ ๐ต ) โˆˆ โ„‚ )
22 17 9 jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) โˆˆ โ„‚ โˆง ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) โˆˆ โ„‚ ) )
23 1 22 sigarimcd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ) โˆˆ โ„‚ )
24 3 simp3d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚ )
25 10 24 subcld โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ถ โˆ’ ๐ธ ) โˆˆ โ„‚ )
26 21 23 25 3jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐น โˆ’ ๐ต ) โˆˆ โ„‚ โˆง ( ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ) โˆˆ โ„‚ โˆง ( ๐ถ โˆ’ ๐ธ ) โˆˆ โ„‚ ) )
27 24 14 subcld โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ธ โˆ’ ๐ด ) โˆˆ โ„‚ )
28 3 simp2d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚ )
29 8 28 subcld โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ต โˆ’ ๐ท ) โˆˆ โ„‚ )
30 28 10 subcld โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ท โˆ’ ๐ถ ) โˆˆ โ„‚ )
31 27 29 30 3jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐ธ โˆ’ ๐ด ) โˆˆ โ„‚ โˆง ( ๐ต โˆ’ ๐ท ) โˆˆ โ„‚ โˆง ( ๐ท โˆ’ ๐ถ ) โˆˆ โ„‚ ) )
32 7 simp2d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ) โ‰  0 )
33 7 simp1d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ) โ‰  0 )
34 7 simp3d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ) โ‰  0 )
35 32 33 34 3jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ) โ‰  0 โˆง ( ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ) โ‰  0 โˆง ( ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ) โ‰  0 ) )
36 10 14 8 3jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ ) )
37 24 15 28 3jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ ) )
38 5 simp3d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐น โˆ’ ๐‘‚ ) ) = 0 )
39 5 simp1d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ท โˆ’ ๐‘‚ ) ) = 0 )
40 5 simp2d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ธ โˆ’ ๐‘‚ ) ) = 0 )
41 38 39 40 3jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐น โˆ’ ๐‘‚ ) ) = 0 โˆง ( ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ท โˆ’ ๐‘‚ ) ) = 0 โˆง ( ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ธ โˆ’ ๐‘‚ ) ) = 0 ) )
42 6 simp3d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐ถ โˆ’ ๐ธ ) ๐บ ( ๐ด โˆ’ ๐ธ ) ) = 0 )
43 6 simp1d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐ด โˆ’ ๐น ) ๐บ ( ๐ต โˆ’ ๐น ) ) = 0 )
44 6 simp2d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐ต โˆ’ ๐ท ) ๐บ ( ๐ถ โˆ’ ๐ท ) ) = 0 )
45 42 43 44 3jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( ๐ถ โˆ’ ๐ธ ) ๐บ ( ๐ด โˆ’ ๐ธ ) ) = 0 โˆง ( ( ๐ด โˆ’ ๐น ) ๐บ ( ๐ต โˆ’ ๐น ) ) = 0 โˆง ( ( ๐ต โˆ’ ๐ท ) ๐บ ( ๐ถ โˆ’ ๐ท ) ) = 0 ) )
46 34 33 32 3jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ) โ‰  0 โˆง ( ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ) โ‰  0 โˆง ( ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ) โ‰  0 ) )
47 1 36 37 4 41 45 46 cevathlem2 โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ) ยท ( ๐ด โˆ’ ๐น ) ) = ( ( ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ) ยท ( ๐น โˆ’ ๐ต ) ) )
48 8 10 14 3jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ ) )
49 28 24 15 3jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚ ) )
50 40 38 39 3jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ธ โˆ’ ๐‘‚ ) ) = 0 โˆง ( ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐น โˆ’ ๐‘‚ ) ) = 0 โˆง ( ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ท โˆ’ ๐‘‚ ) ) = 0 ) )
51 44 42 43 3jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( ๐ต โˆ’ ๐ท ) ๐บ ( ๐ถ โˆ’ ๐ท ) ) = 0 โˆง ( ( ๐ถ โˆ’ ๐ธ ) ๐บ ( ๐ด โˆ’ ๐ธ ) ) = 0 โˆง ( ( ๐ด โˆ’ ๐น ) ๐บ ( ๐ต โˆ’ ๐น ) ) = 0 ) )
52 32 34 33 3jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ) โ‰  0 โˆง ( ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ) โ‰  0 โˆง ( ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ) โ‰  0 ) )
53 1 48 49 4 50 51 52 cevathlem2 โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ) ยท ( ๐ถ โˆ’ ๐ธ ) ) = ( ( ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ) ยท ( ๐ธ โˆ’ ๐ด ) ) )
54 1 2 3 4 5 6 7 cevathlem2 โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ) ยท ( ๐ต โˆ’ ๐ท ) ) = ( ( ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ) ยท ( ๐ท โˆ’ ๐ถ ) ) )
55 47 53 54 3jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ) ยท ( ๐ด โˆ’ ๐น ) ) = ( ( ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ) ยท ( ๐น โˆ’ ๐ต ) ) โˆง ( ( ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ) ยท ( ๐ถ โˆ’ ๐ธ ) ) = ( ( ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ) ยท ( ๐ธ โˆ’ ๐ด ) ) โˆง ( ( ( ๐ถ โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ) ยท ( ๐ต โˆ’ ๐ท ) ) = ( ( ( ๐ด โˆ’ ๐‘‚ ) ๐บ ( ๐ต โˆ’ ๐‘‚ ) ) ยท ( ๐ท โˆ’ ๐ถ ) ) ) )
56 20 26 31 35 55 cevathlem1 โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( ๐ด โˆ’ ๐น ) ยท ( ๐ถ โˆ’ ๐ธ ) ) ยท ( ๐ต โˆ’ ๐ท ) ) = ( ( ( ๐น โˆ’ ๐ต ) ยท ( ๐ธ โˆ’ ๐ด ) ) ยท ( ๐ท โˆ’ ๐ถ ) ) )