Theorem cjval

Description: The value of the conjugate of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013)

	Ref	Expression
Assertion	cjval	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ∗ ‘ 𝐴 ) = ( ℩ 𝑥 ∈ ℂ ( ( 𝐴 + 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( i · ( 𝐴 − 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1	⊢ ( 𝑦 = 𝐴 → ( 𝑦 + 𝑥 ) = ( 𝐴 + 𝑥 ) )
2	1	eleq1d	⊢ ( 𝑦 = 𝐴 → ( ( 𝑦 + 𝑥 ) ∈ ℝ ↔ ( 𝐴 + 𝑥 ) ∈ ℝ ) )
3		oveq1	⊢ ( 𝑦 = 𝐴 → ( 𝑦 − 𝑥 ) = ( 𝐴 − 𝑥 ) )
4	3	oveq2d	⊢ ( 𝑦 = 𝐴 → ( i · ( 𝑦 − 𝑥 ) ) = ( i · ( 𝐴 − 𝑥 ) ) )
5	4	eleq1d	⊢ ( 𝑦 = 𝐴 → ( ( i · ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∈ ℝ ↔ ( i · ( 𝐴 − 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) )
6	2 5	anbi12d	⊢ ( 𝑦 = 𝐴 → ( ( ( 𝑦 + 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( i · ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) ↔ ( ( 𝐴 + 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( i · ( 𝐴 − 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) ) )
7	6	riotabidv	⊢ ( 𝑦 = 𝐴 → ( ℩ 𝑥 ∈ ℂ ( ( 𝑦 + 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( i · ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) ) = ( ℩ 𝑥 ∈ ℂ ( ( 𝐴 + 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( i · ( 𝐴 − 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) ) )
8		df-cj	⊢ ∗ = ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( ℩ 𝑥 ∈ ℂ ( ( 𝑦 + 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( i · ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) ) )
9		riotaex	⊢ ( ℩ 𝑥 ∈ ℂ ( ( 𝐴 + 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( i · ( 𝐴 − 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) ) ∈ V
10	7 8 9	fvmpt	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ∗ ‘ 𝐴 ) = ( ℩ 𝑥 ∈ ℂ ( ( 𝐴 + 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( i · ( 𝐴 − 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) ) )