Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
conncomp.2 |
⊢ 𝑆 = ∪ { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑥 ) ∈ Conn ) } |
2 |
|
uniiun |
⊢ ∪ { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑥 ) ∈ Conn ) } = ∪ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑥 ) ∈ Conn ) } 𝑦 |
3 |
1 2
|
eqtri |
⊢ 𝑆 = ∪ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑥 ) ∈ Conn ) } 𝑦 |
4 |
3
|
oveq2i |
⊢ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) = ( 𝐽 ↾t ∪ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑥 ) ∈ Conn ) } 𝑦 ) |
5 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ) |
6 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑥 ) ∈ Conn ) } ) → 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑥 ) ∈ Conn ) } ) |
7 |
|
eleq2w |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝐴 ∈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ 𝑦 ) ) |
8 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝐽 ↾t 𝑥 ) = ( 𝐽 ↾t 𝑦 ) ) |
9 |
8
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝐽 ↾t 𝑥 ) ∈ Conn ↔ ( 𝐽 ↾t 𝑦 ) ∈ Conn ) ) |
10 |
7 9
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑥 ) ∈ Conn ) ↔ ( 𝐴 ∈ 𝑦 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑦 ) ∈ Conn ) ) ) |
11 |
10
|
elrab |
⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑥 ) ∈ Conn ) } ↔ ( 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑦 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑦 ) ∈ Conn ) ) ) |
12 |
6 11
|
sylib |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑥 ) ∈ Conn ) } ) → ( 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑦 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑦 ) ∈ Conn ) ) ) |
13 |
12
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑥 ) ∈ Conn ) } ) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ) |
14 |
13
|
elpwid |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑥 ) ∈ Conn ) } ) → 𝑦 ⊆ 𝑋 ) |
15 |
12
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑥 ) ∈ Conn ) } ) → ( 𝐴 ∈ 𝑦 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑦 ) ∈ Conn ) ) |
16 |
15
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑥 ) ∈ Conn ) } ) → 𝐴 ∈ 𝑦 ) |
17 |
15
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑥 ) ∈ Conn ) } ) → ( 𝐽 ↾t 𝑦 ) ∈ Conn ) |
18 |
5 14 16 17
|
iunconn |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐽 ↾t ∪ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑥 ) ∈ Conn ) } 𝑦 ) ∈ Conn ) |
19 |
4 18
|
eqeltrid |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∈ Conn ) |