Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
0 |
|
cltr |
⊢ <R |
1 |
|
vx |
⊢ 𝑥 |
2 |
|
vy |
⊢ 𝑦 |
3 |
1
|
cv |
⊢ 𝑥 |
4 |
|
cnr |
⊢ R |
5 |
3 4
|
wcel |
⊢ 𝑥 ∈ R |
6 |
2
|
cv |
⊢ 𝑦 |
7 |
6 4
|
wcel |
⊢ 𝑦 ∈ R |
8 |
5 7
|
wa |
⊢ ( 𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R ) |
9 |
|
vz |
⊢ 𝑧 |
10 |
|
vw |
⊢ 𝑤 |
11 |
|
vv |
⊢ 𝑣 |
12 |
|
vu |
⊢ 𝑢 |
13 |
9
|
cv |
⊢ 𝑧 |
14 |
10
|
cv |
⊢ 𝑤 |
15 |
13 14
|
cop |
⊢ 〈 𝑧 , 𝑤 〉 |
16 |
|
cer |
⊢ ~R |
17 |
15 16
|
cec |
⊢ [ 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ] ~R |
18 |
3 17
|
wceq |
⊢ 𝑥 = [ 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ] ~R |
19 |
11
|
cv |
⊢ 𝑣 |
20 |
12
|
cv |
⊢ 𝑢 |
21 |
19 20
|
cop |
⊢ 〈 𝑣 , 𝑢 〉 |
22 |
21 16
|
cec |
⊢ [ 〈 𝑣 , 𝑢 〉 ] ~R |
23 |
6 22
|
wceq |
⊢ 𝑦 = [ 〈 𝑣 , 𝑢 〉 ] ~R |
24 |
18 23
|
wa |
⊢ ( 𝑥 = [ 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ] ~R ∧ 𝑦 = [ 〈 𝑣 , 𝑢 〉 ] ~R ) |
25 |
|
cpp |
⊢ +P |
26 |
13 20 25
|
co |
⊢ ( 𝑧 +P 𝑢 ) |
27 |
|
cltp |
⊢ <P |
28 |
14 19 25
|
co |
⊢ ( 𝑤 +P 𝑣 ) |
29 |
26 28 27
|
wbr |
⊢ ( 𝑧 +P 𝑢 ) <P ( 𝑤 +P 𝑣 ) |
30 |
24 29
|
wa |
⊢ ( ( 𝑥 = [ 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ] ~R ∧ 𝑦 = [ 〈 𝑣 , 𝑢 〉 ] ~R ) ∧ ( 𝑧 +P 𝑢 ) <P ( 𝑤 +P 𝑣 ) ) |
31 |
30 12
|
wex |
⊢ ∃ 𝑢 ( ( 𝑥 = [ 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ] ~R ∧ 𝑦 = [ 〈 𝑣 , 𝑢 〉 ] ~R ) ∧ ( 𝑧 +P 𝑢 ) <P ( 𝑤 +P 𝑣 ) ) |
32 |
31 11
|
wex |
⊢ ∃ 𝑣 ∃ 𝑢 ( ( 𝑥 = [ 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ] ~R ∧ 𝑦 = [ 〈 𝑣 , 𝑢 〉 ] ~R ) ∧ ( 𝑧 +P 𝑢 ) <P ( 𝑤 +P 𝑣 ) ) |
33 |
32 10
|
wex |
⊢ ∃ 𝑤 ∃ 𝑣 ∃ 𝑢 ( ( 𝑥 = [ 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ] ~R ∧ 𝑦 = [ 〈 𝑣 , 𝑢 〉 ] ~R ) ∧ ( 𝑧 +P 𝑢 ) <P ( 𝑤 +P 𝑣 ) ) |
34 |
33 9
|
wex |
⊢ ∃ 𝑧 ∃ 𝑤 ∃ 𝑣 ∃ 𝑢 ( ( 𝑥 = [ 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ] ~R ∧ 𝑦 = [ 〈 𝑣 , 𝑢 〉 ] ~R ) ∧ ( 𝑧 +P 𝑢 ) <P ( 𝑤 +P 𝑣 ) ) |
35 |
8 34
|
wa |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R ) ∧ ∃ 𝑧 ∃ 𝑤 ∃ 𝑣 ∃ 𝑢 ( ( 𝑥 = [ 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ] ~R ∧ 𝑦 = [ 〈 𝑣 , 𝑢 〉 ] ~R ) ∧ ( 𝑧 +P 𝑢 ) <P ( 𝑤 +P 𝑣 ) ) ) |
36 |
35 1 2
|
copab |
⊢ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( ( 𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R ) ∧ ∃ 𝑧 ∃ 𝑤 ∃ 𝑣 ∃ 𝑢 ( ( 𝑥 = [ 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ] ~R ∧ 𝑦 = [ 〈 𝑣 , 𝑢 〉 ] ~R ) ∧ ( 𝑧 +P 𝑢 ) <P ( 𝑤 +P 𝑣 ) ) ) } |
37 |
0 36
|
wceq |
⊢ <R = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( ( 𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R ) ∧ ∃ 𝑧 ∃ 𝑤 ∃ 𝑣 ∃ 𝑢 ( ( 𝑥 = [ 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ] ~R ∧ 𝑦 = [ 〈 𝑣 , 𝑢 〉 ] ~R ) ∧ ( 𝑧 +P 𝑢 ) <P ( 𝑤 +P 𝑣 ) ) ) } |