Theorem divdiv2

Description: Division by a fraction. (Contributed by NM, 27-Dec-2008)

	Ref	Expression
Assertion	divdiv2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( 𝐴 / ( 𝐵 / 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) / 𝐵 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn	⊢ 1 ∈ ℂ
2		ax-1ne0	⊢ 1 ≠ 0
3	1 2	pm3.2i	⊢ ( 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0 )
4		divdivdiv	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0 ) ) ∧ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) ) → ( ( 𝐴 / 1 ) / ( 𝐵 / 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) / ( 1 · 𝐵 ) ) )
5	3 4	mpanl2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) ) → ( ( 𝐴 / 1 ) / ( 𝐵 / 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) / ( 1 · 𝐵 ) ) )
6	5	3impb	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 1 ) / ( 𝐵 / 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) / ( 1 · 𝐵 ) ) )
7		div1	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝐴 / 1 ) = 𝐴 )
8	7	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( 𝐴 / 1 ) = 𝐴 )
9	8	oveq1d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 1 ) / ( 𝐵 / 𝐶 ) ) = ( 𝐴 / ( 𝐵 / 𝐶 ) ) )
10		mulid2	⊢ ( 𝐵 ∈ ℂ → ( 1 · 𝐵 ) = 𝐵 )
11	10	ad2antrl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( 1 · 𝐵 ) = 𝐵 )
12	11	3adant3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( 1 · 𝐵 ) = 𝐵 )
13	12	oveq2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) / ( 1 · 𝐵 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) / 𝐵 ) )
14	6 9 13	3eqtr3d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( 𝐴 / ( 𝐵 / 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) / 𝐵 ) )