Theorem dvdsabsb

Description: An integer divides another iff it divides its absolute value. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011)

	Ref	Expression
Assertion	dvdsabsb	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ ( abs ‘ 𝑁 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2	⊢ ( ( abs ‘ 𝑁 ) = 𝑁 → ( 𝑀 ∥ ( abs ‘ 𝑁 ) ↔ 𝑀 ∥ 𝑁 ) )
2	1	bicomd	⊢ ( ( abs ‘ 𝑁 ) = 𝑁 → ( 𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ ( abs ‘ 𝑁 ) ) )
3	2	a1i	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( abs ‘ 𝑁 ) = 𝑁 → ( 𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) )
4		dvdsnegb	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ - 𝑁 ) )
5		breq2	⊢ ( ( abs ‘ 𝑁 ) = - 𝑁 → ( 𝑀 ∥ ( abs ‘ 𝑁 ) ↔ 𝑀 ∥ - 𝑁 ) )
6	5	bicomd	⊢ ( ( abs ‘ 𝑁 ) = - 𝑁 → ( 𝑀 ∥ - 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ ( abs ‘ 𝑁 ) ) )
7	4 6	sylan9bb	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( abs ‘ 𝑁 ) = - 𝑁 ) → ( 𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ ( abs ‘ 𝑁 ) ) )
8	7	ex	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( abs ‘ 𝑁 ) = - 𝑁 → ( 𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) )
9		zre	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ )
10	9	absord	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( abs ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ∨ ( abs ‘ 𝑁 ) = - 𝑁 ) )
11	10	adantl	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( abs ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ∨ ( abs ‘ 𝑁 ) = - 𝑁 ) )
12	3 8 11	mpjaod	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ ( abs ‘ 𝑁 ) ) )