Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
expclz |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
2 |
|
reccl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
3 |
2
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
4 |
|
recne0 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( 1 / 𝐴 ) ≠ 0 ) |
5 |
4
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 1 / 𝐴 ) ≠ 0 ) |
6 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
7 |
|
expclz |
⊢ ( ( ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ ( 1 / 𝐴 ) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 1 / 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
8 |
3 5 6 7
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 1 / 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
9 |
|
expne0i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ≠ 0 ) |
10 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
11 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝐴 ≠ 0 ) |
12 |
10 11
|
recidd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 · ( 1 / 𝐴 ) ) = 1 ) |
13 |
12
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 · ( 1 / 𝐴 ) ) ↑ 𝑁 ) = ( 1 ↑ 𝑁 ) ) |
14 |
|
mulexpz |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ ( ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ ( 1 / 𝐴 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 · ( 1 / 𝐴 ) ) ↑ 𝑁 ) = ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) · ( ( 1 / 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
15 |
10 11 3 5 6 14
|
syl221anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 · ( 1 / 𝐴 ) ) ↑ 𝑁 ) = ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) · ( ( 1 / 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
16 |
|
1exp |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 1 ↑ 𝑁 ) = 1 ) |
17 |
6 16
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 1 ↑ 𝑁 ) = 1 ) |
18 |
13 15 17
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) · ( ( 1 / 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) = 1 ) |
19 |
1 8 9 18
|
mvllmuld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 1 / 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) = ( 1 / ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) ) |