Description: The value of a function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010)
Ref | Expression | ||
---|---|---|---|
Hypotheses | fvpr2.1 | ⊢ 𝐵 ∈ V | |
fvpr2.2 | ⊢ 𝐷 ∈ V | ||
Assertion | fvpr2 | ⊢ ( 𝐴 ≠ 𝐵 → ( { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 , 〈 𝐵 , 𝐷 〉 } ‘ 𝐵 ) = 𝐷 ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | fvpr2.1 | ⊢ 𝐵 ∈ V | |
2 | fvpr2.2 | ⊢ 𝐷 ∈ V | |
3 | prcom | ⊢ { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 , 〈 𝐵 , 𝐷 〉 } = { 〈 𝐵 , 𝐷 〉 , 〈 𝐴 , 𝐶 〉 } | |
4 | 3 | fveq1i | ⊢ ( { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 , 〈 𝐵 , 𝐷 〉 } ‘ 𝐵 ) = ( { 〈 𝐵 , 𝐷 〉 , 〈 𝐴 , 𝐶 〉 } ‘ 𝐵 ) |
5 | necom | ⊢ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴 ) | |
6 | 1 2 | fvpr1 | ⊢ ( 𝐵 ≠ 𝐴 → ( { 〈 𝐵 , 𝐷 〉 , 〈 𝐴 , 𝐶 〉 } ‘ 𝐵 ) = 𝐷 ) |
7 | 5 6 | sylbi | ⊢ ( 𝐴 ≠ 𝐵 → ( { 〈 𝐵 , 𝐷 〉 , 〈 𝐴 , 𝐶 〉 } ‘ 𝐵 ) = 𝐷 ) |
8 | 4 7 | eqtrid | ⊢ ( 𝐴 ≠ 𝐵 → ( { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 , 〈 𝐵 , 𝐷 〉 } ‘ 𝐵 ) = 𝐷 ) |