Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elfzle1 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 0 ≤ 𝐾 ) |
2 |
|
elfzel2 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
3 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝐾 ∈ ℤ ) |
4 |
|
zre |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ ) |
5 |
|
zre |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ ) |
6 |
|
subge02 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ 𝐾 ↔ ( 𝑁 − 𝐾 ) ≤ 𝑁 ) ) |
7 |
4 5 6
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 0 ≤ 𝐾 ↔ ( 𝑁 − 𝐾 ) ≤ 𝑁 ) ) |
8 |
2 3 7
|
syl2anc |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 0 ≤ 𝐾 ↔ ( 𝑁 − 𝐾 ) ≤ 𝑁 ) ) |
9 |
1 8
|
mpbid |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 − 𝐾 ) ≤ 𝑁 ) |
10 |
|
fznn0sub |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 − 𝐾 ) ∈ ℕ0 ) |
11 |
|
nn0uz |
⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 ) |
12 |
10 11
|
eleqtrdi |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 − 𝐾 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
13 |
|
elfz5 |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 𝐾 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 − 𝐾 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑁 − 𝐾 ) ≤ 𝑁 ) ) |
14 |
12 2 13
|
syl2anc |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( ( 𝑁 − 𝐾 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑁 − 𝐾 ) ≤ 𝑁 ) ) |
15 |
9 14
|
mpbird |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 − 𝐾 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |