Theorem elfz5

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Dec-2005)

	Ref	Expression
Assertion	elfz5	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz	⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
2		eluzel2	⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → 𝑀 ∈ ℤ )
3	1 2	jca	⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) )
4		elfz	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
5	4	3expa	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
6	3 5	sylan	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
7		eluzle	⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → 𝑀 ≤ 𝐾 )
8	7	biantrurd	⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
9	8	adantr	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
10	6 9	bitr4d	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁 ) )