Theorem elfz

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 29-Sep-2005)

	Ref	Expression
Assertion	elfz	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
2		3anass	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
3	2	baib	⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
4	1 3	sylan9bb	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
5	4	3impa	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
6	5	3comr	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )