Theorem elfz2

Description: Membership in a finite set of sequential integers. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show M e. ZZ and N e. ZZ . (Contributed by NM, 6-Sep-2005) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015)

	Ref	Expression
Assertion	elfz2	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass	⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) ) )
2		df-3an	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) )
3	2	anbi1i	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) ↔ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
4		elfz1	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
5		3anass	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
6		ibar	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) ) ) )
7	5 6	bitrid	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) ) ) )
8	4 7	bitrd	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) ) ) )
9		fzf	⊢ ... : ( ℤ × ℤ ) ⟶ 𝒫 ℤ
10	9	fdmi	⊢ dom ... = ( ℤ × ℤ )
11	10	ndmov	⊢ ( ¬ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ... 𝑁 ) = ∅ )
12	11	eleq2d	⊢ ( ¬ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ 𝐾 ∈ ∅ ) )
13		noel	⊢ ¬ 𝐾 ∈ ∅
14	13	pm2.21i	⊢ ( 𝐾 ∈ ∅ → ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) )
15		simpl	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) )
16	14 15	pm5.21ni	⊢ ( ¬ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ∅ ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) ) ) )
17	12 16	bitrd	⊢ ( ¬ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) ) ) )
18	8 17	pm2.61i	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) ) )
19	1 3 18	3bitr4ri	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )