Theorem elfzd

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021)

	Ref	Expression
Hypotheses	elfzd.1	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
	elfzd.2	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ )
	elfzd.3	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ )
	elfzd.4	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾 )
	elfzd.5	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁 )
Assertion	elfzd	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzd.1	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
2		elfzd.2	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ )
3		elfzd.3	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ )
4		elfzd.4	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾 )
5		elfzd.5	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁 )
6	1 2 3	3jca	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) )
7	6 4 5	jca32	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
8		elfz2	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
9	7 8	sylibr	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )