Theorem grpnnncan2

Description: Cancellation law for group subtraction. ( nnncan2 analog.) (Contributed by NM, 15-Feb-2008) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014)

	Ref	Expression
Hypotheses	grpnnncan2.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
	grpnnncan2.m	⊢ − = ( -g ‘ 𝐺 )
Assertion	grpnnncan2	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 − 𝑍 ) − ( 𝑌 − 𝑍 ) ) = ( 𝑋 − 𝑌 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpnnncan2.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		grpnnncan2.m	⊢ − = ( -g ‘ 𝐺 )
3		simpl	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐺 ∈ Grp )
4		simpr1	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
5		simpr3	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑍 ∈ 𝐵 )
6	1 2	grpsubcl	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 − 𝑍 ) ∈ 𝐵 )
7	6	3adant3r1	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑌 − 𝑍 ) ∈ 𝐵 )
8		eqid	⊢ ( +g ‘ 𝐺 ) = ( +g ‘ 𝐺 )
9	1 8 2	grpsubsub4	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌 − 𝑍 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 − 𝑍 ) − ( 𝑌 − 𝑍 ) ) = ( 𝑋 − ( ( 𝑌 − 𝑍 ) ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑍 ) ) )
10	3 4 5 7 9	syl13anc	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 − 𝑍 ) − ( 𝑌 − 𝑍 ) ) = ( 𝑋 − ( ( 𝑌 − 𝑍 ) ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑍 ) ) )
11	1 8 2	grpnpcan	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑌 − 𝑍 ) ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑍 ) = 𝑌 )
12	11	3adant3r1	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑌 − 𝑍 ) ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑍 ) = 𝑌 )
13	12	oveq2d	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 − ( ( 𝑌 − 𝑍 ) ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑍 ) ) = ( 𝑋 − 𝑌 ) )
14	10 13	eqtrd	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 − 𝑍 ) − ( 𝑌 − 𝑍 ) ) = ( 𝑋 − 𝑌 ) )