Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
gsumccat.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
gsumccat.p |
⊢ + = ( +g ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
s1cl |
⊢ ( 𝑍 ∈ 𝐵 → 〈“ 𝑍 ”〉 ∈ Word 𝐵 ) |
4 |
1 2
|
gsumccat |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 〈“ 𝑍 ”〉 ∈ Word 𝐵 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = ( ( 𝐺 Σg 𝑊 ) + ( 𝐺 Σg 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) ) |
5 |
3 4
|
syl3an3 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = ( ( 𝐺 Σg 𝑊 ) + ( 𝐺 Σg 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) ) |
6 |
1
|
gsumws1 |
⊢ ( 𝑍 ∈ 𝐵 → ( 𝐺 Σg 〈“ 𝑍 ”〉 ) = 𝑍 ) |
7 |
6
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐺 Σg 〈“ 𝑍 ”〉 ) = 𝑍 ) |
8 |
7
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐺 Σg 𝑊 ) + ( 𝐺 Σg 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = ( ( 𝐺 Σg 𝑊 ) + 𝑍 ) ) |
9 |
5 8
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑍 ”〉 ) ) = ( ( 𝐺 Σg 𝑊 ) + 𝑍 ) ) |