Theorem hosubcl

Description: Mapping of difference of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 23-Aug-2006) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	hosubcl	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑆 −op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1	⊢ ( 𝑆 = if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) → ( 𝑆 −op 𝑇 ) = ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) −op 𝑇 ) )
2	1	feq1d	⊢ ( 𝑆 = if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) → ( ( 𝑆 −op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ↔ ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) −op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ) )
3		oveq2	⊢ ( 𝑇 = if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) → ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) −op 𝑇 ) = ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) −op if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) )
4	3	feq1d	⊢ ( 𝑇 = if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) → ( ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) −op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ ↔ ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) −op if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) )
5		ho0f	⊢ 0hop : ℋ ⟶ ℋ
6	5	elimf	⊢ if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) : ℋ ⟶ ℋ
7	5	elimf	⊢ if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) : ℋ ⟶ ℋ
8	6 7	hosubcli	⊢ ( if ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑆 , 0hop ) −op if ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ , 𝑇 , 0hop ) ) : ℋ ⟶ ℋ
9	2 4 8	dedth2h	⊢ ( ( 𝑆 : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑆 −op 𝑇 ) : ℋ ⟶ ℋ )