Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ax-hvcom |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) → ( 𝐴 +ℎ 𝐵 ) = ( 𝐵 +ℎ 𝐴 ) ) |
2 |
1
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 +ℎ 𝐵 ) +ℎ 𝐶 ) = ( ( 𝐵 +ℎ 𝐴 ) +ℎ 𝐶 ) ) |
3 |
2
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 +ℎ 𝐵 ) +ℎ 𝐶 ) = ( ( 𝐵 +ℎ 𝐴 ) +ℎ 𝐶 ) ) |
4 |
|
ax-hvass |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 +ℎ 𝐵 ) +ℎ 𝐶 ) = ( 𝐴 +ℎ ( 𝐵 +ℎ 𝐶 ) ) ) |
5 |
|
ax-hvass |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐵 +ℎ 𝐴 ) +ℎ 𝐶 ) = ( 𝐵 +ℎ ( 𝐴 +ℎ 𝐶 ) ) ) |
6 |
5
|
3com12 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ) → ( ( 𝐵 +ℎ 𝐴 ) +ℎ 𝐶 ) = ( 𝐵 +ℎ ( 𝐴 +ℎ 𝐶 ) ) ) |
7 |
3 4 6
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ) → ( 𝐴 +ℎ ( 𝐵 +ℎ 𝐶 ) ) = ( 𝐵 +ℎ ( 𝐴 +ℎ 𝐶 ) ) ) |