Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
isbasis2g |
⊢ ( 𝐵 ∈ 𝐶 → ( 𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ) ) |
2 |
|
elssuni |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐵 ) |
3 |
2
|
rgen |
⊢ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ⊆ ∪ 𝐵 |
4 |
|
eluni2 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑦 ) |
5 |
4
|
biimpi |
⊢ ( 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 → ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑦 ) |
6 |
5
|
rgen |
⊢ ∀ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑦 |
7 |
3 6
|
pm3.2i |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ⊆ ∪ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑦 ) |
8 |
7
|
biantrur |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ↔ ( ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ⊆ ∪ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑦 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ) ) |
9 |
|
df-3an |
⊢ ( ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ⊆ ∪ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ) ↔ ( ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ⊆ ∪ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑦 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ) ) |
10 |
8 9
|
bitr4i |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ↔ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ⊆ ∪ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ) ) |
11 |
1 10
|
bitrdi |
⊢ ( 𝐵 ∈ 𝐶 → ( 𝐵 ∈ TopBases ↔ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ⊆ ∪ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ) ) ) |