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Theorem isbasis2g

Description: Express the predicate "the set B is a basis for a topology". (Contributed by NM, 17-Jul-2006)

Ref Expression
Assertion isbasis2g ( 𝐵𝐶 → ( 𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀ 𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧 ∈ ( 𝑥𝑦 ) ∃ 𝑤𝐵 ( 𝑧𝑤𝑤 ⊆ ( 𝑥𝑦 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 isbasisg ( 𝐵𝐶 → ( 𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀ 𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 𝑥𝑦 ) ⊆ ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥𝑦 ) ) ) )
2 dfss3 ( ( 𝑥𝑦 ) ⊆ ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥𝑦 ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑥𝑦 ) 𝑧 ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥𝑦 ) ) )
3 elin ( 𝑤 ∈ ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥𝑦 ) ) ↔ ( 𝑤𝐵𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑥𝑦 ) ) )
4 velpw ( 𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑥𝑦 ) ↔ 𝑤 ⊆ ( 𝑥𝑦 ) )
5 4 anbi2i ( ( 𝑤𝐵𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑥𝑦 ) ) ↔ ( 𝑤𝐵𝑤 ⊆ ( 𝑥𝑦 ) ) )
6 3 5 bitri ( 𝑤 ∈ ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥𝑦 ) ) ↔ ( 𝑤𝐵𝑤 ⊆ ( 𝑥𝑦 ) ) )
7 6 anbi2i ( ( 𝑧𝑤𝑤 ∈ ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥𝑦 ) ) ) ↔ ( 𝑧𝑤 ∧ ( 𝑤𝐵𝑤 ⊆ ( 𝑥𝑦 ) ) ) )
8 an12 ( ( 𝑧𝑤 ∧ ( 𝑤𝐵𝑤 ⊆ ( 𝑥𝑦 ) ) ) ↔ ( 𝑤𝐵 ∧ ( 𝑧𝑤𝑤 ⊆ ( 𝑥𝑦 ) ) ) )
9 7 8 bitri ( ( 𝑧𝑤𝑤 ∈ ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥𝑦 ) ) ) ↔ ( 𝑤𝐵 ∧ ( 𝑧𝑤𝑤 ⊆ ( 𝑥𝑦 ) ) ) )
10 9 exbii ( ∃ 𝑤 ( 𝑧𝑤𝑤 ∈ ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥𝑦 ) ) ) ↔ ∃ 𝑤 ( 𝑤𝐵 ∧ ( 𝑧𝑤𝑤 ⊆ ( 𝑥𝑦 ) ) ) )
11 eluni ( 𝑧 ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥𝑦 ) ) ↔ ∃ 𝑤 ( 𝑧𝑤𝑤 ∈ ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥𝑦 ) ) ) )
12 df-rex ( ∃ 𝑤𝐵 ( 𝑧𝑤𝑤 ⊆ ( 𝑥𝑦 ) ) ↔ ∃ 𝑤 ( 𝑤𝐵 ∧ ( 𝑧𝑤𝑤 ⊆ ( 𝑥𝑦 ) ) ) )
13 10 11 12 3bitr4i ( 𝑧 ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥𝑦 ) ) ↔ ∃ 𝑤𝐵 ( 𝑧𝑤𝑤 ⊆ ( 𝑥𝑦 ) ) )
14 13 ralbii ( ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑥𝑦 ) 𝑧 ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥𝑦 ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑥𝑦 ) ∃ 𝑤𝐵 ( 𝑧𝑤𝑤 ⊆ ( 𝑥𝑦 ) ) )
15 2 14 bitri ( ( 𝑥𝑦 ) ⊆ ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥𝑦 ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑥𝑦 ) ∃ 𝑤𝐵 ( 𝑧𝑤𝑤 ⊆ ( 𝑥𝑦 ) ) )
16 15 2ralbii ( ∀ 𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 𝑥𝑦 ) ⊆ ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥𝑦 ) ) ↔ ∀ 𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧 ∈ ( 𝑥𝑦 ) ∃ 𝑤𝐵 ( 𝑧𝑤𝑤 ⊆ ( 𝑥𝑦 ) ) )
17 1 16 bitrdi ( 𝐵𝐶 → ( 𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀ 𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧 ∈ ( 𝑥𝑦 ) ∃ 𝑤𝐵 ( 𝑧𝑤𝑤 ⊆ ( 𝑥𝑦 ) ) ) )