Theorem isbasis2g

Description: Express the predicate "the set B is a basis for a topology". (Contributed by NM, 17-Jul-2006)

	Ref	Expression
Assertion	isbasis2g	⊢ ( 𝐵 ∈ 𝐶 → ( 𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbasisg	⊢ ( 𝐵 ∈ 𝐶 → ( 𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ∪ ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ) )
2		dfss3	⊢ ( ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ∪ ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) 𝑧 ∈ ∪ ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) )
3		elin	⊢ ( 𝑤 ∈ ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ↔ ( 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) )
4		velpw	⊢ ( 𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ↔ 𝑤 ⊆ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) )
5	4	anbi2i	⊢ ( ( 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ↔ ( 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ⊆ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) )
6	3 5	bitri	⊢ ( 𝑤 ∈ ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ↔ ( 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ⊆ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) )
7	6	anbi2i	⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ⊆ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ) )
8		an12	⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ⊆ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ) ↔ ( 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ) )
9	7 8	bitri	⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ) ↔ ( 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ) )
10	9	exbii	⊢ ( ∃ 𝑤 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ) ↔ ∃ 𝑤 ( 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ) )
11		eluni	⊢ ( 𝑧 ∈ ∪ ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ↔ ∃ 𝑤 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ) )
12		df-rex	⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ↔ ∃ 𝑤 ( 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ) )
13	10 11 12	3bitr4i	⊢ ( 𝑧 ∈ ∪ ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) )
14	13	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) 𝑧 ∈ ∪ ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) )
15	2 14	bitri	⊢ ( ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ∪ ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) )
16	15	2ralbii	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ∪ ( 𝐵 ∩ 𝒫 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) )
17	1 16	syl6bb	⊢ ( 𝐵 ∈ 𝐶 → ( 𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ) ) )