Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
olmass.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
olmass.m |
⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
ollat |
⊢ ( 𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat ) |
4 |
1 2
|
latmcom |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) = ( 𝑍 ∧ 𝑌 ) ) |
5 |
3 4
|
syl3an1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) = ( 𝑍 ∧ 𝑌 ) ) |
6 |
5
|
3adant3r1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) = ( 𝑍 ∧ 𝑌 ) ) |
7 |
6
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) = ( 𝑋 ∧ ( 𝑍 ∧ 𝑌 ) ) ) |
8 |
1 2
|
latmassOLD |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ 𝑍 ) = ( 𝑋 ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) ) |
9 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐾 ∈ OL ) |
10 |
|
simpr1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
11 |
|
simpr3 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑍 ∈ 𝐵 ) |
12 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 ) |
13 |
1 2
|
latmassOLD |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ∧ 𝑌 ) = ( 𝑋 ∧ ( 𝑍 ∧ 𝑌 ) ) ) |
14 |
9 10 11 12 13
|
syl13anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ∧ 𝑌 ) = ( 𝑋 ∧ ( 𝑍 ∧ 𝑌 ) ) ) |
15 |
7 8 14
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ 𝑍 ) = ( ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ∧ 𝑌 ) ) |