Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lmat22.m |
⊢ 𝑀 = ( litMat ‘ 〈“ 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 〈“ 𝐶 𝐷 ”〉 ”〉 ) |
2 |
|
lmat22.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉 ) |
3 |
|
lmat22.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉 ) |
4 |
|
lmat22.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉 ) |
5 |
|
lmat22.d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉 ) |
6 |
|
2nn |
⊢ 2 ∈ ℕ |
7 |
6
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℕ ) |
8 |
2 3
|
s2cld |
⊢ ( 𝜑 → 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 ∈ Word 𝑉 ) |
9 |
4 5
|
s2cld |
⊢ ( 𝜑 → 〈“ 𝐶 𝐷 ”〉 ∈ Word 𝑉 ) |
10 |
8 9
|
s2cld |
⊢ ( 𝜑 → 〈“ 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 〈“ 𝐶 𝐷 ”〉 ”〉 ∈ Word Word 𝑉 ) |
11 |
|
s2len |
⊢ ( ♯ ‘ 〈“ 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 〈“ 𝐶 𝐷 ”〉 ”〉 ) = 2 |
12 |
11
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 〈“ 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 〈“ 𝐶 𝐷 ”〉 ”〉 ) = 2 ) |
13 |
1 2 3 4 5
|
lmat22lem |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 2 ) ) → ( ♯ ‘ ( 〈“ 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 〈“ 𝐶 𝐷 ”〉 ”〉 ‘ 𝑖 ) ) = 2 ) |
14 |
|
0nn0 |
⊢ 0 ∈ ℕ0 |
15 |
|
1nn0 |
⊢ 1 ∈ ℕ0 |
16 |
|
1le2 |
⊢ 1 ≤ 2 |
17 |
6
|
nnrei |
⊢ 2 ∈ ℝ |
18 |
17
|
leidi |
⊢ 2 ≤ 2 |
19 |
|
0p1e1 |
⊢ ( 0 + 1 ) = 1 |
20 |
|
1p1e2 |
⊢ ( 1 + 1 ) = 2 |
21 |
|
s2cli |
⊢ 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 ∈ Word V |
22 |
|
s2fv0 |
⊢ ( 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 ∈ Word V → ( 〈“ 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 〈“ 𝐶 𝐷 ”〉 ”〉 ‘ 0 ) = 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 ) |
23 |
21 22
|
ax-mp |
⊢ ( 〈“ 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 〈“ 𝐶 𝐷 ”〉 ”〉 ‘ 0 ) = 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 |
24 |
|
s2fv1 |
⊢ ( 𝐵 ∈ 𝑉 → ( 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 ‘ 1 ) = 𝐵 ) |
25 |
3 24
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 ‘ 1 ) = 𝐵 ) |
26 |
1 7 10 12 13 14 15 16 18 19 20 23 25
|
lmatfvlem |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 𝑀 2 ) = 𝐵 ) |