Theorem ltadd12dd

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	ltadd12dd.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
	ltadd12dd.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
	ltadd12dd.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ )
	ltadd12dd.d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ )
	ltadd12dd.ac	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < 𝐶 )
	ltadd12dd.bd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 < 𝐷 )
Assertion	ltadd12dd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐶 + 𝐷 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd12dd.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
2		ltadd12dd.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
3		ltadd12dd.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ )
4		ltadd12dd.d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ )
5		ltadd12dd.ac	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < 𝐶 )
6		ltadd12dd.bd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 < 𝐷 )
7	1 2	readdcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ )
8	3 2	readdcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 + 𝐵 ) ∈ ℝ )
9	3 4	readdcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 + 𝐷 ) ∈ ℝ )
10	1 3 2 5	ltadd1dd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐶 + 𝐵 ) )
11	2 4 3 6	ltadd2dd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 + 𝐵 ) < ( 𝐶 + 𝐷 ) )
12	7 8 9 10 11	lttrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐶 + 𝐷 ) )