Theorem lukshefth1

Description: Lemma for renicax . (Contributed by NM, 31-Jul-2011) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	lukshefth1	⊢ ( ( ( ( 𝜏 ⊼ 𝜓 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ ( 𝜓 ⊼ 𝜒 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lukshef-ax1	⊢ ( ( 𝜑 ⊼ ( 𝜓 ⊼ 𝜒 ) ) ⊼ ( ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ⊼ ( ( 𝜏 ⊼ 𝜓 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ) )
2		lukshef-ax1	⊢ ( ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( ( 𝜏 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜃 ) ) ) ) )
3		lukshef-ax1	⊢ ( ( ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( ( 𝜏 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜃 ) ) ) ) ) ⊼ ( ( ( ( 𝜏 ⊼ 𝜓 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜏 ⊼ 𝜓 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( ( 𝜏 ⊼ 𝜓 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ) ) ⊼ ( ( ( ( 𝜏 ⊼ 𝜓 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ⊼ ( ( 𝜏 ⊼ 𝜓 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ) ⊼ ( ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ⊼ ( ( 𝜏 ⊼ 𝜓 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ) ) ) ) )
4	2 3	nic-mp	⊢ ( ( ( ( 𝜏 ⊼ 𝜓 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ⊼ ( ( 𝜏 ⊼ 𝜓 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ) ⊼ ( ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ⊼ ( ( 𝜏 ⊼ 𝜓 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ) ) )
5		lukshef-ax1	⊢ ( ( ( ( ( 𝜏 ⊼ 𝜓 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ⊼ ( ( 𝜏 ⊼ 𝜓 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ) ⊼ ( ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ⊼ ( ( 𝜏 ⊼ 𝜓 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜑 ⊼ ( 𝜓 ⊼ 𝜒 ) ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ ( 𝜓 ⊼ 𝜒 ) ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ ( 𝜓 ⊼ 𝜒 ) ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜑 ⊼ ( 𝜓 ⊼ 𝜒 ) ) ⊼ ( ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ⊼ ( ( 𝜏 ⊼ 𝜓 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ) ) ⊼ ( ( ( ( ( 𝜏 ⊼ 𝜓 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ ( 𝜓 ⊼ 𝜒 ) ) ) ⊼ ( ( ( ( 𝜏 ⊼ 𝜓 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ ( 𝜓 ⊼ 𝜒 ) ) ) ) ) ) )
6	4 5	nic-mp	⊢ ( ( ( 𝜑 ⊼ ( 𝜓 ⊼ 𝜒 ) ) ⊼ ( ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ⊼ ( ( 𝜏 ⊼ 𝜓 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ) ) ⊼ ( ( ( ( ( 𝜏 ⊼ 𝜓 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ ( 𝜓 ⊼ 𝜒 ) ) ) ⊼ ( ( ( ( 𝜏 ⊼ 𝜓 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ ( 𝜓 ⊼ 𝜒 ) ) ) ) )
7	1 6	nic-mp	⊢ ( ( ( ( 𝜏 ⊼ 𝜓 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ ( 𝜓 ⊼ 𝜒 ) ) )