Theorem renicax

Description: A rederivation of nic-ax from lukshef-ax1 , proving that lukshef-ax1 with nic-mp can be used as a complete axiomatization of propositional calculus. (Contributed by Anthony Hart, 31-Jul-2011) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	renicax	⊢ ( ( 𝜑 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜓 ) ) ⊼ ( ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lukshefth1	⊢ ( ( ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜓 ) ) )
2		lukshefth2	⊢ ( ( ( ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜓 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜑 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜓 ) ) ⊼ ( ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ) ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜓 ) ) ⊼ ( ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ) ) ) )
3	1 2	nic-mp	⊢ ( ( 𝜑 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜓 ) ) ⊼ ( ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ) )
4		lukshefth2	⊢ ( ( ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ) ) ) ⊼ ( ( ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ) ) )
5		lukshef-ax1	⊢ ( ( ( ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ) ) ) ⊼ ( ( ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜑 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜓 ) ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜓 ) ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜓 ) ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜑 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜓 ) ) ⊼ ( ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ) ) ⊼ ( ( ( ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ) ) ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜓 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ) ) ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜓 ) ) ) ) ) ) )
6	4 5	nic-mp	⊢ ( ( ( 𝜑 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜓 ) ) ⊼ ( ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ) ) ⊼ ( ( ( ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ) ) ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜓 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ) ) ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜓 ) ) ) ) )
7	3 6	nic-mp	⊢ ( ( ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ) ) ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜓 ) ) )
8		lukshefth2	⊢ ( ( ( ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ) ) ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜓 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜑 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜓 ) ) ⊼ ( ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ) ) ) ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜓 ) ) ⊼ ( ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ) ) ) ) ) )
9	7 8	nic-mp	⊢ ( ( 𝜑 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜓 ) ) ⊼ ( ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜃 ) ) ) ) )