Theorem mnfltpnf

Description: Minus infinity is less than plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005)

	Ref	Expression
Assertion	mnfltpnf	⊢ -∞ < +∞

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid	⊢ -∞ = -∞
2		eqid	⊢ +∞ = +∞
3		olc	⊢ ( ( -∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞ ) → ( ( ( -∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ ) ∧ -∞ <ℝ +∞ ) ∨ ( -∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞ ) ) )
4	1 2 3	mp2an	⊢ ( ( ( -∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ ) ∧ -∞ <ℝ +∞ ) ∨ ( -∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞ ) )
5	4	orci	⊢ ( ( ( ( -∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ ) ∧ -∞ <ℝ +∞ ) ∨ ( -∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞ ) ) ∨ ( ( -∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞ ) ∨ ( -∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ ) ) )
6		mnfxr	⊢ -∞ ∈ ℝ*
7		pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*
8		ltxr	⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ) → ( -∞ < +∞ ↔ ( ( ( ( -∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ ) ∧ -∞ <ℝ +∞ ) ∨ ( -∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞ ) ) ∨ ( ( -∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞ ) ∨ ( -∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ ) ) ) ) )
9	6 7 8	mp2an	⊢ ( -∞ < +∞ ↔ ( ( ( ( -∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ ) ∧ -∞ <ℝ +∞ ) ∨ ( -∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞ ) ) ∨ ( ( -∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞ ) ∨ ( -∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ ) ) ) )
10	5 9	mpbir	⊢ -∞ < +∞