Theorem moantr

Description: Sufficient condition for transitivity of conjunctions inside existential quantifiers. (Contributed by Peter Mazsa, 2-Oct-2018)

	Ref	Expression
Assertion	moantr	⊢ ( ∃* 𝑥 𝜓 → ( ( ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) → ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exancom	⊢ ( ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ↔ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜑 ) )
2	1	anbi1i	⊢ ( ( ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ↔ ( ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜑 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) )
3	2	anbi2i	⊢ ( ( ∃* 𝑥 𝜓 ∧ ( ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) ↔ ( ∃* 𝑥 𝜓 ∧ ( ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜑 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) )
4		3anass	⊢ ( ( ∃* 𝑥 𝜓 ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜑 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ↔ ( ∃* 𝑥 𝜓 ∧ ( ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜑 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) )
5	3 4	bitr4i	⊢ ( ( ∃* 𝑥 𝜓 ∧ ( ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) ↔ ( ∃* 𝑥 𝜓 ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜑 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) )
6		mopick2	⊢ ( ( ∃* 𝑥 𝜓 ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜑 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) → ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒 ) )
7	5 6	sylbi	⊢ ( ( ∃* 𝑥 𝜓 ∧ ( ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) → ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒 ) )
8		3anass	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒 ) ↔ ( 𝜓 ∧ ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) ) )
9	8	exbii	⊢ ( ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒 ) ↔ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) ) )
10		exsimpr	⊢ ( ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) ) → ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) )
11	9 10	sylbi	⊢ ( ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒 ) → ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) )
12	7 11	syl	⊢ ( ( ∃* 𝑥 𝜓 ∧ ( ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) → ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) )
13		impexp	⊢ ( ( ( ∃* 𝑥 𝜓 ∧ ( ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) → ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) ) ↔ ( ∃* 𝑥 𝜓 → ( ( ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) → ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) ) ) )
14	12 13	mpbi	⊢ ( ∃* 𝑥 𝜓 → ( ( ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ ∃ 𝑥 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) → ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) ) )