Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
subcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
2 |
1
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
3 |
|
addsub |
⊢ ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) + 𝐵 ) − 𝐶 ) = ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) − 𝐶 ) + 𝐵 ) ) |
4 |
3
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) − 𝐶 ) + 𝐵 ) = ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) + 𝐵 ) − 𝐶 ) ) |
5 |
2 4
|
syld3an1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) − 𝐶 ) + 𝐵 ) = ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) + 𝐵 ) − 𝐶 ) ) |
6 |
|
npcan |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) + 𝐵 ) = 𝐴 ) |
7 |
6
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) + 𝐵 ) = 𝐴 ) |
8 |
7
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) + 𝐵 ) − 𝐶 ) = ( 𝐴 − 𝐶 ) ) |
9 |
5 8
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) − 𝐶 ) + 𝐵 ) = ( 𝐴 − 𝐶 ) ) |