Theorem normpar

Description: Parallelogram law for norms. Remark 3.4(B) of Beran p. 98. (Contributed by NM, 15-Apr-2007) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	normpar	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) → ( ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ↑ 2 ) + ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 +ℎ 𝐵 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( 2 · ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) + ( 2 · ( ( normℎ ‘ 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) )
2	1	oveq1d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ↑ 2 ) = ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) ↑ 2 ) )
3		fvoveq1	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐴 +ℎ 𝐵 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) +ℎ 𝐵 ) ) )
4	3	oveq1d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 +ℎ 𝐵 ) ) ↑ 2 ) = ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) +ℎ 𝐵 ) ) ↑ 2 ) )
5	2 4	oveq12d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ↑ 2 ) + ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 +ℎ 𝐵 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) ↑ 2 ) + ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) +ℎ 𝐵 ) ) ↑ 2 ) ) )
6		fveq2	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ 𝐴 ) = ( normℎ ‘ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) )
7	6	oveq1d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) = ( ( normℎ ‘ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ↑ 2 ) )
8	7	oveq2d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( 2 · ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( normℎ ‘ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ↑ 2 ) ) )
9	8	oveq1d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( 2 · ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) + ( 2 · ( ( normℎ ‘ 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( 2 · ( ( normℎ ‘ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ↑ 2 ) ) + ( 2 · ( ( normℎ ‘ 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) )
10	5 9	eqeq12d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ↑ 2 ) + ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 +ℎ 𝐵 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( 2 · ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) + ( 2 · ( ( normℎ ‘ 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) ↔ ( ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) ↑ 2 ) + ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) +ℎ 𝐵 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( 2 · ( ( normℎ ‘ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ↑ 2 ) ) + ( 2 · ( ( normℎ ‘ 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) ) )
11		oveq2	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) = ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) )
12	11	fveq2d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) )
13	12	oveq1d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) ↑ 2 ) = ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ↑ 2 ) )
14		oveq2	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) +ℎ 𝐵 ) = ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) +ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) )
15	14	fveq2d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) +ℎ 𝐵 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) +ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) )
16	15	oveq1d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) +ℎ 𝐵 ) ) ↑ 2 ) = ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) +ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ↑ 2 ) )
17	13 16	oveq12d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) ↑ 2 ) + ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) +ℎ 𝐵 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ↑ 2 ) + ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) +ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ↑ 2 ) ) )
18		fveq2	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ 𝐵 ) = ( normℎ ‘ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) )
19	18	oveq1d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ 𝐵 ) ↑ 2 ) = ( ( normℎ ‘ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ↑ 2 ) )
20	19	oveq2d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( 2 · ( ( normℎ ‘ 𝐵 ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( normℎ ‘ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ↑ 2 ) ) )
21	20	oveq2d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( ( 2 · ( ( normℎ ‘ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ↑ 2 ) ) + ( 2 · ( ( normℎ ‘ 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( 2 · ( ( normℎ ‘ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ↑ 2 ) ) + ( 2 · ( ( normℎ ‘ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ↑ 2 ) ) ) )
22	17 21	eqeq12d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( ( ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) ↑ 2 ) + ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) +ℎ 𝐵 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( 2 · ( ( normℎ ‘ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ↑ 2 ) ) + ( 2 · ( ( normℎ ‘ 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) ↔ ( ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ↑ 2 ) + ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) +ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( 2 · ( ( normℎ ‘ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ↑ 2 ) ) + ( 2 · ( ( normℎ ‘ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ↑ 2 ) ) ) ) )
23		ifhvhv0	⊢ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ∈ ℋ
24		ifhvhv0	⊢ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ∈ ℋ
25	23 24	normpari	⊢ ( ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ↑ 2 ) + ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) +ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( 2 · ( ( normℎ ‘ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ↑ 2 ) ) + ( 2 · ( ( normℎ ‘ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ↑ 2 ) ) )
26	10 22 25	dedth2h	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) → ( ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ↑ 2 ) + ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 +ℎ 𝐵 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( 2 · ( ( normℎ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) + ( 2 · ( ( normℎ ‘ 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) )