Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) ) |
2 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( 𝐵 −ℎ 𝐴 ) = ( 𝐵 −ℎ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) |
3 |
2
|
fveq2d |
⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ 𝐴 ) ) = ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) ) |
4 |
1 3
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) = ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ 𝐴 ) ) ↔ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) = ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) ) ) |
5 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) = ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) |
6 |
5
|
fveq2d |
⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ) |
7 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) ) |
8 |
6 7
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) = ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) ↔ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) ) ) |
9 |
|
ifhvhv0 |
⊢ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ∈ ℋ |
10 |
|
ifhvhv0 |
⊢ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ∈ ℋ |
11 |
9 10
|
normsubi |
⊢ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) |
12 |
4 8 11
|
dedth2h |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) = ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ 𝐴 ) ) ) |