Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nv1.1 |
⊢ 𝑋 = ( BaseSet ‘ 𝑈 ) |
2 |
|
nv1.4 |
⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) |
3 |
|
nv1.5 |
⊢ 𝑍 = ( 0vec ‘ 𝑈 ) |
4 |
|
nv1.6 |
⊢ 𝑁 = ( normCV ‘ 𝑈 ) |
5 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝑍 ) → 𝑈 ∈ NrmCVec ) |
6 |
1 4
|
nvcl |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
7 |
6
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝑍 ) → ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
8 |
1 3 4
|
nvz |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍 ) ) |
9 |
8
|
necon3bid |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝑍 ) ) |
10 |
9
|
biimp3ar |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝑍 ) → ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) |
11 |
7 10
|
rereccld |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝑍 ) → ( 1 / ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
12 |
1 3 4
|
nvgt0 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 ≠ 𝑍 ↔ 0 < ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) |
13 |
12
|
biimp3a |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝑍 ) → 0 < ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) |
14 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
15 |
|
0le1 |
⊢ 0 ≤ 1 |
16 |
|
divge0 |
⊢ ( ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → 0 ≤ ( 1 / ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) |
17 |
14 15 16
|
mpanl12 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) → 0 ≤ ( 1 / ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) |
18 |
7 13 17
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝑍 ) → 0 ≤ ( 1 / ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) |
19 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝑍 ) → 𝐴 ∈ 𝑋 ) |
20 |
1 2 4
|
nvsge0 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( ( 1 / ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 1 / ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ ( ( 1 / ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) 𝑆 𝐴 ) ) = ( ( 1 / ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) |
21 |
5 11 18 19 20
|
syl121anc |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝑍 ) → ( 𝑁 ‘ ( ( 1 / ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) 𝑆 𝐴 ) ) = ( ( 1 / ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) |
22 |
6
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
23 |
22
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝑍 ) → ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
24 |
23 10
|
recid2d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝑍 ) → ( ( 1 / ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) · ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) |
25 |
21 24
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝑍 ) → ( 𝑁 ‘ ( ( 1 / ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) 𝑆 𝐴 ) ) = 1 ) |