Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( 𝐴 𝑅 𝐵 ↔ 𝐵 𝑅 𝐵 ) ) |
2 |
|
poirr |
⊢ ( ( 𝑅 Po 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) → ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ) |
3 |
2
|
adantrl |
⊢ ( ( 𝑅 Po 𝑉 ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ) → ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ) |
4 |
3
|
pm2.21d |
⊢ ( ( 𝑅 Po 𝑉 ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝐵 𝑅 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵 ) ) |
5 |
4
|
ex |
⊢ ( 𝑅 Po 𝑉 → ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) → ( 𝐵 𝑅 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵 ) ) ) |
6 |
5
|
com13 |
⊢ ( 𝐵 𝑅 𝐵 → ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑅 Po 𝑉 → 𝐴 ≠ 𝐵 ) ) ) |
7 |
1 6
|
syl6bi |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( 𝐴 𝑅 𝐵 → ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑅 Po 𝑉 → 𝐴 ≠ 𝐵 ) ) ) ) |
8 |
7
|
com24 |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( 𝑅 Po 𝑉 → ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) → ( 𝐴 𝑅 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵 ) ) ) ) |
9 |
8
|
3impd |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( ( 𝑅 Po 𝑉 ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐴 𝑅 𝐵 ) → 𝐴 ≠ 𝐵 ) ) |
10 |
|
ax-1 |
⊢ ( 𝐴 ≠ 𝐵 → ( ( 𝑅 Po 𝑉 ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐴 𝑅 𝐵 ) → 𝐴 ≠ 𝐵 ) ) |
11 |
9 10
|
pm2.61ine |
⊢ ( ( 𝑅 Po 𝑉 ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐴 𝑅 𝐵 ) → 𝐴 ≠ 𝐵 ) |