Description: The multiplicative operation of a constructed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015)
Ref | Expression | ||
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Hypothesis | rngfn.r | ⊢ 𝑅 = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝐵 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( .r ‘ ndx ) , · 〉 } | |
Assertion | rngmulr | ⊢ ( · ∈ 𝑉 → · = ( .r ‘ 𝑅 ) ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | rngfn.r | ⊢ 𝑅 = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝐵 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( .r ‘ ndx ) , · 〉 } | |
2 | 1 | rngstr | ⊢ 𝑅 Struct 〈 1 , 3 〉 |
3 | mulrid | ⊢ .r = Slot ( .r ‘ ndx ) | |
4 | snsstp3 | ⊢ { 〈 ( .r ‘ ndx ) , · 〉 } ⊆ { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝐵 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( .r ‘ ndx ) , · 〉 } | |
5 | 4 1 | sseqtrri | ⊢ { 〈 ( .r ‘ ndx ) , · 〉 } ⊆ 𝑅 |
6 | 2 3 5 | strfv | ⊢ ( · ∈ 𝑉 → · = ( .r ‘ 𝑅 ) ) |