Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ax-sep |
⊢ ∃ 𝑧 ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝑧 ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝜑 ) ) |
2 |
|
bimsc1 |
⊢ ( ( ( 𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑦 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑧 ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝜑 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝜑 ) ) |
3 |
2
|
ex |
⊢ ( ( 𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑦 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑧 ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝜑 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝜑 ) ) ) |
4 |
3
|
al2imi |
⊢ ( ∀ 𝑥 ( 𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑦 ) → ( ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝑧 ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝜑 ) ) → ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝜑 ) ) ) |
5 |
4
|
eximdv |
⊢ ( ∀ 𝑥 ( 𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑦 ) → ( ∃ 𝑧 ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝑧 ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝜑 ) ) → ∃ 𝑧 ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝜑 ) ) ) |
6 |
1 5
|
mpi |
⊢ ( ∀ 𝑥 ( 𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑦 ) → ∃ 𝑧 ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝜑 ) ) |
7 |
6
|
exlimiv |
⊢ ( ∃ 𝑦 ∀ 𝑥 ( 𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑦 ) → ∃ 𝑧 ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝜑 ) ) |