Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
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taylpfval.s |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } ) |
2 |
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taylpfval.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐴 ⟶ ℂ ) |
3 |
|
taylpfval.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆 ) |
4 |
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taylpfval.n |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
5 |
|
taylpfval.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ dom ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑁 ) ) |
6 |
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taylpfval.t |
⊢ 𝑇 = ( 𝑁 ( 𝑆 Tayl 𝐹 ) 𝐵 ) |
7 |
1 2 3 4 5 6
|
taylpfval |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 = ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( ( ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝐵 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝑥 − 𝐵 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
8 |
|
fzfid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( 0 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) |
9 |
1 2 3 4 5
|
taylplem2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝐵 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝑥 − 𝐵 ) ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
10 |
8 9
|
fsumcl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( ( ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝐵 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝑥 − 𝐵 ) ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
11 |
7 10
|
fmpt3d |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 : ℂ ⟶ ℂ ) |